Dvě frekvence, ne jedna

Tohle je statická kopie kapitoly pro vyhledávače. Interaktivní verze má animované obrázky, kontrolní otázky a tlačítka, která příklad načtou do kalkulačky.

Většina lidí čeká, že pružná soustava má jednu frekvenci, na které kmitá. Má dvě, a rozdíl mezi nimi je celý tenhle obor.

ωa = √(Ks / JL)antirezonance — zátěž kmitá, motor stojí

ωr = ωa·√(1 + R), R = JL/JMrezonance — obě hmoty kmitají proti sobě

Antirezonance je frekvence, na které se zátěž na pružině houpá sama pro sebe. Motor v tom okamžiku skoro stojí: veškerý moment, který dodá, spolkne rozhoupaná zátěž. Ve frekvenční charakteristice je to propad — motor tlačí a nic se nehýbe.

Rezonance je frekvence, na které kmitají obě hmoty proti sobě kolem společného těžiště. Tam se naopak z malého momentu stane velký pohyb, takže je to špička.

Dva režimy téže soustavy. Hluboko pod antirezonancí se motor i zátěž hýbou jako jedno těleso. Vysoko nad rezonancí se hýbou proti sobě a zátěž se prakticky odpojí — motor pak nese jenom sám sebe.

ωa = 109,8 Hz = √(K/JL) — tam se motor točí a zátěž stojí. ωr = 233,0 Hz = ωa·√(1+R), R = 3,50.
Nad rezonancí zůstane motor sám a zesílení vyskočí 4,50× = 13,1 dB.

Zelená je to, co vidí odměřování na motoru, modrá to, co dělá zátěž — obojí vztažené k tuhé ose, aby byl vidět rozdíl a ne jenom klesající čára. Změkči převod a obě frekvence sjedou dolů; přidej zátěž a sjede hlavně antirezonance. Přerušovaná čára nahoře je hladina, na kterou zesílení vyskočí, jakmile se zátěž odpojí.

Proč je jedna nad druhou právě √(1+R)

Při antirezonanci kmitá jen zátěž a cítí celou tuhost: √(K/JL). Při rezonanci kmitají obě hmoty proti sobě, a taková soustava se chová jako jediná hmota o velikosti redukované setrvačnosti JMJL/(JM+JL) — což je vždycky méně než kterákoli z nich. Menší hmota na téže pružině znamená vyšší frekvenci, a poměr vyjde přesně √(1+R).

Praktický důsledek: obě frekvence se dají z naměřené charakteristiky odečíst, a z jejich poměru se rovnou dopočítá poměr setrvačností: R = (ωr/ωa)² − 1. Je to nejrychlejší způsob, jak zjistit, co za mechanikou opravdu visí, když to nikdo nezměřil.

Dvě frekvence, ne jedna

Proč je jedna nad druhou právě √(1+R)

Vzorce v této kapitole