Stewartova platforma: šest nohou, čtyřicet řešení
Šest vzpěr proměnné délky mezi šesti body na rámu a šesti na plošině. Šest stupňů volnosti, tedy plná poloha i orientace. Používá se v leteckých simulátorech, na zkušebních stolicích, v přesném polohování optiky a všude, kde je potřeba tuhost, kterou sériové rameno nedá.
Zpětný výpočet: 4 iterací Newtonovy metody, chyba 7.9e-14 · podmíněnost 526,3
Dopředná úloha nemá uzavřený tvar vůbec — obecná Stewartova platforma jich má až čtyřicet a která z nich je ta pravá, se z délek nepozná. Tady se startuje blízko a hledá se numericky, protože nic lepšího neexistuje.
Inverzní úloha je jeden řádek
Kde t je poloha plošiny, R její orientace, p_i úchyt na plošině a b_i na rámu. Šest nezávislých vzdáleností. Žádná iterace, žádná zvláštní geometrie — a je to tak triviální, že to skoro budí podezření.
Dopředná úloha je noční můra
Obráceně, tedy „mám šest délek, kde je plošina", nemá uzavřené řešení vůbec. Soustava šesti rovnic s šesti neznámými, ve které se poloha a orientace navzájem svazují, a která má obecně až čtyřicet různých řešení.
Proč zrovna čtyřicet. Je to dokázaný počet kořenů výsledného algebraického systému pro obecnou 6-6 platformu, a je to jeden z těch výsledků, který se v osmdesátých letech hledal dvacet let. Prakticky to znamená, že řešení musí být numerické a musí startovat blízko — což je stejný závěr jako v šesté kapitole, jen z jiné strany.
Tahle labka to řeší tlumeným Newtonem z odhadu. Konverguje spolehlivě, když je odhad rozumný, a v testech se z odchýleného startu vždycky vrátí přesně na zadanou pózu. Ale která ze čtyřiceti poloh to bude, rozhoduje ten odhad, ne délky.
Proč je uspořádání 6-3
Úchyty na rámu jsou po dvou blízko sebe, na plošině taky, ale otočené o 60°. Nohy se proto kříží. Není to estetika: rozestup určuje, jak dobře platforma vzdoruje otáčení, a překřížené uspořádání dá výrazně lepší podmíněnost než šest rovnoběžných nohou.
Kde to potkáte
| použití | proč zrovna tohle |
|---|---|
| letecký simulátor | šest stupňů volnosti a velké síly při malém zdvihu |
| zkušební stolice | tuhost a schopnost vnutit přesnou dráhu i pod zatížením |
| polohování optiky a antén | rozlišení v mikrometrech, bez vůle |
| obráběcí hexapod | tuhost — ale malý prostor to v praxi omezuje |