Inverzní úloha: kružnice potká kouli

Tohle je statická kopie kapitoly pro vyhledávače. Interaktivní verze má animované obrázky, kontrolní otázky a tlačítka, která příklad načtou do kalkulačky.

Poloha plošiny je daná, takže je daný i bod, kde se na ni každá noha připojuje. Odtud je zbytek geometrie jedné nohy, nezávislé na ostatních dvou.

Konec horního ramene opisuje kružnici o poloměru L kolem osy motoru. Spodní noha má pevnou délku l, takže její horní konec musí ležet na kouli o poloměru l se středem v přípojném bodě plošiny. Řešení je jejich průsečík.

Rovnice nohy: A·cos θ + B·sin θ = C s A = -148,5·10³, B = 1152,8·10³, C = -42,9·10³
Dvě řešení: 189,46° a 5,23° — koleno ven a koleno dovnitř
Tři nohy po dvou řešeních dají osm konfigurací téže polohy. Používá se ta se všemi koleny ven; ostatní jsou geometricky stejně platné a stroj by se do nich musel rozebrat a složit znovu.

Rovina jedné nohy, ve skutečném měřítku. Kružnice ramene protne kouli spodní nohy ve dvou bodech — zeleně je zvolený, fialově ten druhý.

Odvození, které se vejde na tři řádky

Označme c vektor od osy motoru k přípojnému bodu plošiny, û vodorovný jednotkový vektor ven od středu a θ hledaný úhel. Podmínka na délku spodní nohy je

‖c − L(cos θ · û − sin θ · ẑ)‖ = lspodní noha má pevnou délku

Umocnit, roznásobit, a členy bez θ přendat doprava:

2L(c·û) cos θ − 2L c_z sin θ = ‖c‖² + L² − l²A cos θ + B sin θ = C

θ = atan2(B, A) ± arccos( C / √(A² + B²) )a to je celé řešení

To ± je dvojice řešení každé nohy — koleno ven a koleno dovnitř. Tři nohy po dvou řešeních dají osm konfigurací téže polohy plošiny. Používá se ta se všemi koleny ven; ostatních sedm je geometricky stejně platných a stroj by se do nich musel rozebrat.

Když řešení není

Když |C| > √(A² + B²), kružnice kouli neprotne — plošina je pro tuhle nohu prostě moc daleko. Solver to hlásí jako unreachable spolu s tím, o kolik. To je hranice pracovního prostoru, a protože ji hlídá každá noha zvlášť, je výsledný tvar průnikem tří takových podmínek.