Kde se to v akademii používá
Tahle labka je základ tratě Matematika a leží pod vším ostatním. Následující seznam není reklama — je to mapa, díky které se dá u každé kapitoly zjistit, kde se odpovídající nástroj potká s realitou.
Podle kapitol
| kapitola | kde se to používá |
|---|---|
| 1 — co je vektor | Každá labka, kde je víc než jeden souřadný systém: KineLab, VisionLab. |
| 2 — sčítání a lineární kombinace | Sloupce Jakobiánu a dosažitelné rychlosti — KineLab, ParallelLab. |
| 3 — délka a normy | L∞ u limitů os v TrajLabu; L₂ všude, kde je řeč o chybě. |
| 4 — skalární součin | Práce a výkon (DriveLab), přivrácenost plochy (VisionLab), kosinová podobnost. |
| 5 — projekce | Nejmenší čtverce v OptiLabu, Kalmanův filtr ve FilterLabu, rozklad zatížení v BoltLabu. |
| 6 — vektorový součin | Moment síly v MotionLabu a DynaLabu, normály ploch, kontrola singularit. |
| 7 — smíšený součin | Objemy prvků sítě v BeamLabu, det = +1 u rotačních matic v RotLabu. |
| 8 — nezávislost a hodnost | Singularity — KineLab, ParallelLab; pozorovatelnost ve FilterLabu. |
| 9 — Gram-Schmidt | Rámce nástroje, QR v OptiLabu, srovnání rotační matice v RotLabu. |
| 10 — přímky a roviny | Kolizní kontroly, DH parametry v KineLabu, obrazová rovina ve VisionLabu. |
| 11 — souřadnicové soustavy | Gimbal lock v RotLabu, pracovní prostor v ParallelLabu. |
Co přijde v téhle trati dál
Vektory jsou jenom první patro. Trať Matematika pokračuje nahoru:
- Matice — matice jako zobrazení, ne tabulka čísel; determinant jako změna obsahu; hodnost, inverze, vlastní čísla a SVD. Všechno, co tahle kapitola nakousla u báze a hodnosti, tam dostane pořádný nástroj.
- Transformace — homogenní souřadnice, skládání, pořadí operací a rámce.
- Derivace — od směrnice po gradient, Jakobián a Hessián, tedy přesně to, co pohání optimalizaci a inverzní kinematiku.
- Integrály — plocha, základní věta, numerická integrace a řešení diferenciálních rovnic.
- a nad tím vrstva, kterou potřebuje elektronika a řízení: komplexní čísla a Laplace, Fourier, pravděpodobnost.
Jak je tahle labka ověřená. Vektorová algebra nemá tabulky, do kterých by se dalo nahlédnout — zato má identity, a ty platí pro každý vstup. Testy v repu proto neověřují jen pár spočítaných příkladů, ale kontrolují Cauchyho–Schwarze, Lagrange, BAC-CAB a Jacobiho na čtyřech tisících náhodných trojic naráz, geometrii přímek a rovin proti hrubé síle a všechny převody souřadnic na kruh tam a zpátky. Znaménková chyba v jedné složce vektorového součinu projde libovolným ručně spočítaným příkladem, který jste si vybrali. Lagrangeovou identitou neprojde.