Projekce: rozložit vektor na „podél“ a „napříč“
Otázka „kolik z a míří podél b“ je v technice všudypřítomná. Kolik ze zatížení jde do osy šroubu a kolik ho smýká napříč. Kolik z rychlosti jde po dráze a kolik ji opouští. Kolik z naměřené hodnoty model vysvětlí a co zbude jako reziduum.
Odpověď je jeden vzorec, který skoro každý umí nazpaměť a málokdo umí odůvodnit:
Otázka za všechny: odkud se vzala ta druhá mocnina? Nepamatuje se — odvodí se, a je v ní vidět, že se b použije dvakrát: jednou jako měřítko, kterým se měří „jak daleko“, podruhé jako směr, kterým se ta délka odnese.
- kolik z a míří podél b?
Tohle je nejužitečnější otázka v celé kapitole. Síla podél osy šroubu, rychlost podél dráhy, ta část měření, kterou model vysvětluje — všechno je tahle jedna úloha.
- spusť kolmici z hrotu a na přímku b
Pata kolmice je ten bod, který na přímce b leží nejblíž hrotu a. Že je „podél“ totéž co „nejblíž“, není definice — je to důsledek, a v kapitole 10 se z toho stane celá metoda nejmenších čtverců.
- délka = |a| cos θ = 2,107
Pravoúhlý trojúhelník: přilehlá odvěsna je přepona krát kosinus. Se znaménkem — při tupém úhlu vyjde záporná a stín leží na druhé straně.
- délka = |a| · a·b/(|a||b|) = a·b/|b|
Za cos θ se dosadí kapitola 4 a |a| se vykrátí. Zůstane a·b děleno |b| — a to je celý důvod, proč se skalární součin v praxi počítá pořád: dá se z něj číst délka stínu bez jediného úhlu.
- směr = b̂ = b/|b|
Délka sama o sobě není vektor. Směr je jednotkový vektor b — a tady se b používá podruhé.
- proj = (a·b / |b|²) · b
Délka krát směr. Dvě dělení |b| se potkají a udělají |b|² — proto tam ta druhá mocnina je. Není to překlep ani konvence: b se použilo dvakrát, jednou jako měřítko a jednou jako směr.
- a − proj ⊥ b, protože (a − proj)·b = 0,000000
Co zbylo, je na b kolmé — a nemusí se to věřit, dá se to ověřit skalárním součinem. Tenhle rozklad na „část podél“ a „zbytek“ je stejný pohyb, kterým Gram-Schmidt v kapitole 9 staví ortonormální bázi.
Když je b jednotkový, mocnina zmizí. Pro |b| = 1
je proj = (a·b)·b a pro tento případ jsou obě podoby stejné. Právě proto se
v grafice a robotice směry vždycky normalizují dopředu — všechny další vzorce se tím
zkrátí a jeden zdroj chyb zmizí.
Práce je skalární součin
Fyzikálně nejznámější použití: práce, kterou vykoná síla po dráze, je F · d. Vodorovná složka síly táhne, svislá jenom přitlačuje k podložce a nekoná nic.
Že člověk tlačící do zdi vyčerpáním padne a přitom nevykoná žádnou práci, je klasický školní paradox. Ve vektorech žádný paradox není: dráha je nulová, takže součin je nulový, a je hotovo.
Kam to vede dál
Rozklad „část podél + zbytek“ je pořád tentýž pohyb, a objeví se ještě mnohokrát:
- Gram-Schmidt (kapitola 9) staví ortonormální bázi tak, že opakovaně odečítá průměty. Nic víc v tom není.
- Nejmenší čtverce — proložení dat přímkou je projekce vektoru měření do podprostoru, na který model dosáhne. Viz OptiLab.
- Kalmanův filtr je táž projekce, jen prováděná postupně a s vahami podle nejistoty. Viz FilterLab.