Nezávislost, báze a souřadnice
Tahle kapitola doplácí slib z kapitoly 1: vektor není trojice čísel. Teď se ukáže, odkud přesně ta čísla pocházejí a proč se dají změnit, aniž by se vektor pohnul.
Kam všude se dá dosáhnout
- { s·a } → přímka
Všechny násobky jednoho vektoru tvoří přímku. Ať se s ním dělá cokoli, z té přímky se nedostane.
- { s·a + t·b } → rovina
Druhý vektor, který na té přímce neleží, otevře celou rovinu. Té množině všeho dosažitelného se říká lineární obal (span).
- c = 2·a − b → pořád jen rovina
Když třetí vektor leží v té rovině, nepřidá nic — dá se totiž složit z prvních dvou. Takové trojici se říká lineárně závislá.
- c mimo rovinu → celý prostor
Teprve vektor, který z roviny vystoupí, otevře třetí rozměr. To je ten okamžik, kdy smíšený součin z kapitoly 7 přestane být nula.
- hodnost = kolik rozměrů opravdu pokryjí
Počet vektorů a počet rozměrů, na které dosáhnou, není totéž. Ten druhý se jmenuje hodnost — a v robotice je to počet směrů, kterými se rameno v dané poloze umí rozjet. Když hodnost klesne, je to singularita.
Množina všeho, na co se lineárními kombinacemi dosáhne, se jmenuje lineární obal (anglicky span). Vektory jsou lineárně nezávislé, když každý z nich obal zvětší — tedy když se žádný nedá poskládat z ostatních. Hodnost je počet rozměrů, na které skutečně dosáhnou.
V robotice se tomu říká singularita. Sloupce Jakobiánu jsou vektory: každý říká, kterým směrem se chapadlo rozjede, když se pohne příslušným kloubem. Dokud jsou nezávislé, jde jet kamkoli. Když si dva lehnou na sebe, hodnost klesne a jeden směr zmizí — rameno se v něm nedokáže pohnout, ať se motory snaží jak chtějí. Viz KineLab a ParallelLab.
Báze: souřadnice nejsou vlastnost vektoru
Báze je nezávislá množina, jejíž obal je celý prostor. V rovině stačí dva vektory, v prostoru tři. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi jsou ta čísla, kterými se z báze poskládá.
Standardní báze — x̂, ŷ, ẑ — je jenom jedna z nekonečně mnoha. Je pohodlná, protože je ortonormální (kolmá a jednotková), takže se souřadnice získají prostým skalárním součinem. V neortogonální bázi se musí řešit soustava — kalkulačka to dělá Cramerovým pravidlem.
Čím ostřejší úhel, tím horší čísla
Když se dva bázové vektory k sobě přiblíží, souřadnice rostou jako 1/sin θ. Při 5° mezi nimi je faktor 11,5; při 1° už 57. Prakticky to znamená, že malá chyba ve vstupu udělá velkou chybu v souřadnicích — a přitom báze pořád formálně existuje.
Tomuhle se říká špatná podmíněnost a je to jedno z nejdůležitějších slov v numerické matematice: rozdíl mezi „nejde to“ a „jde to, ale výsledku nevěř“. Vrátí se to v OptiLabu u čísla podmíněnosti a v ParallelLabu u singularit.
Dimenze
Každá báze téhož prostoru má stejný počet prvků — a tomu číslu se říká dimenze. Rovina má dva, prostor tři, konfigurační prostor šestiosého ramene šest. Že to musí vyjít vždycky stejně, není samozřejmé; je to věta, a je to důvod, proč má otázka „kolik stupňů volnosti“ vůbec jednoznačnou odpověď.