Vektorový součin: obsah je věta, směr je dohoda
Druhý smysluplný součin dvou vektorů dá vektor, ne číslo. A skládá se ze dvou věcí, které je dobré držet oddělené, protože jedna se dokazuje a druhá ne:
- Délka je věta: rovná se obsahu rovnoběžníku, který ty dva vektory napínají. To se dá odvodit.
- Směr je konvence: kolmý na oba, ale takové směry jsou dva a algebra si sama nevybere. Vybírá pravidlo pravé ruky.
Kdo tohle drží oddělené, přestane hledat důkaz pravidla pravé ruky — žádný neexistuje.
- a a b napínají rovnoběžník — obsah = ?
Dva vektory napínají rovnoběžník. Jeho obsah je první polovina toho, co vektorový součin znamená.
- základna = |a| = 3
Za základnu si vezmeme a. Obsah rovnoběžníku je základna krát výška — a výška není délka b.
- výška = |b| sin θ = 1,638
Výška je kolmá vzdálenost druhé strany od základny, tedy |b| sin θ. Odsud plyne, že u rovnoběžných vektorů vyjde nula — nula výšky, nula obsahu.
- |a × b| = |a||b| sin θ = 4,915
Součin dá obsah. Všimněte si té symetrie se skalárním součinem: tam byl kosinus a měřilo se „kolik toho míří stejně“, tady je sinus a měří se „kolik toho míří napříč“.
- a × b ⊥ a a zároveň ⊥ b
Obsah je číslo, ale vektorový součin je vektor. Musí mířit kolmo na oba — jenže takové směry jsou dva, nahoru a dolů, a algebra sama o sobě žádný z nich nepreferuje.
- a × b — pravidlo pravé ruky
Vybrat se musí dohodou. Prsty pravé ruky od a k b, palec ukazuje výsledek. Není to věta, kterou by šlo dokázat — je to konvence (ISO 80000-2), a všechno ostatní se jí pak drží.
- b × a = −(a × b)
Prohodit pořadí znamená obtočit ruku obráceně — palec ukáže dolů. Obsah zůstane stejný, znaménko se otočí. Tady je rozdíl proti skalárnímu součinu, kde na pořadí nezáleží vůbec.
Ta symetrie se skalárním součinem stojí za povšimnutí
Dva součiny, dvě goniometrické funkce, dvě otázky:
| skalární a · b | vektorový a × b | |
|---|---|---|
| výsledek | číslo | vektor |
| vzorec | |a||b| cos θ | |a||b| sin θ |
| ptá se | kolik toho míří stejně | kolik toho míří napříč |
| nula znamená | kolmé | rovnoběžné |
| pořadí | nezáleží | otočí znaménko |
Poslední dva řádky jsou ty, které se pletou nejčastěji. „Součin je nula“ znamená u skalárního součinu kolmé a u vektorového rovnoběžné — přesně naopak.
Kde se s tím potkáte
- Moment síly: M = r × F. Odsud plyne, že síla mířící přímo do osy nedělá žádný moment — je s ramenem rovnoběžná, takže součin je nula. Viz MotionLab.
- Normála plochy: dvě strany trojúhelníku, jejich součin, a je z toho kolmice — základ každého osvětlovacího modelu i každé kolizní kontroly.
- Obsah trojúhelníku: polovina délky součinu. Vyměřuje se tak pozemek ze tří rohů, aniž by kdokoli měřil výšku.
- Jakobián a singularity: a × b = 0 znamená, že dva směry splynuly. Právě tohle se v KineLabu stane rameni v singularitě.
V rovině to není číslo. Dva rovinné vektory mají součin mířící ven z roviny, tedy podél z. Spousta textů z něj udělá skalár a tváří se, že rovinný vektorový součin je číslo. Není a je to past: u momentu se přesně tahle „ušetřená“ složka ukáže jako ta jediná, která nese informaci. V téhle labce je proto všechno trojrozměrné a 2D režim jenom skrývá třetí řádek.
Vlastnosti, na které je spoleh
A dvě, které se hodí a nejsou samozřejmé:
Lagrangeova identita je vlastně jen sin² + cos² = 1 napsaná ve vektorech, a je to nejostřejší test na správnost vektorového součinu, jaký lze napsat: znaménková chyba v kterékoli složce ji porušuje. Testy v repu ji kontrolují na čtyřech tisících náhodných dvojic a kalkulačka ji počítá na vašich číslech.