Co je vektor — a proč to není trojice čísel
Skoro každý učební text začne tím, že vektor je uspořádaná trojice čísel. Je to pohodlné a je to naruby. Vektor je posun — „o tolik tam a o tolik nahoru“ — a čísla se objeví teprve ve chvíli, kdy si někdo zvolí soustavu souřadnic. Ta volba je naše. Šipka o ní neví.
Zní to jako filozofie, dokud se nedostanete k prvnímu robotu. Tam má každý kloub svoji soustavu, kamera svoji, stůl svoji, a tentýž bod má v každé z nich jiné tři čísla. Kdo si myslí, že vektor je ta trojice, ztratí se hned u druhého rámce. Kdo ví, že trojice je jen odečet v konkrétní soustavě, tomu z toho vyjde celá kapitola 8 skoro sama.
- v = ? ? ?
Vektor je posun: „o tolik tam a o tolik tam“. Zatím je to jen šipka — žádná čísla v ní nejsou a nedají se z ní přečíst.
- x, y — zvolená soustava
Čísla přijdou až s volbou soustavy. Ta volba je naše, ne vlastnost té šipky — a je to celý zdroj toho, čemu se v pozdějších kapitolách říká „změna báze“.
- x a y — stíny šipky
Z hrotu spustíme kolmice na obě osy. Vzniknou dvě úsečky — stíny šipky na osách. Ty už čísla mají.
- v = 3,0·x̂ + 2,0·ŷ
Ty dvě délky jsou složky. Říkají, kolikrát se má jít podél jedné a podél druhé osy, aby se člověk dostal na hrot.
- v = (3,0, 2,0)
Zapíše se to jako dvojice, obvykle svisle jako sloupec. Od téhle chvíle se s vektorem počítá jako s čísly — ale ta šipka pod tím pořád je.
- v = (3,0, 2,0) kdekoli
Táž šipka posunutá jinam má tytéž složky. Vektor není v žádném konkrétním místě — je to jen ten posun. Proto se dva vektory smějí sečíst, i když „nezačínají na stejném místě“.
Bod a vektor nejsou totéž
Obojí se zapisuje jako trojice a je to různá věc:
- Bod je místo. Má smysl se ptát „kde“. Součet dvou bodů nedává smysl — co by byl součet Prahy a Bergenu?
- Vektor je posun. Má smysl se ptát „kam a jak daleko“, ne „kde“. Vektory se sčítat dají, protože posun a po něm další posun je zase posun.
Rozdíl dvou bodů je vektor (posun z jednoho do druhého). Bod plus vektor je bod. Bod plus bod není nic. Tohle rozlišení je jediný důvod, proč se v kapitole 11 zavádějí homogenní souřadnice — potřebují to odlišit ve chvíli, kdy se obojí strká do stejné matice.
Zápis, který se drží v celé akademii
Vektory tučně nebo se šipkou, složky s indexem, jednotkové vektory se stříškou:
Sloupec, ne řádek. Vypadá to jako drobnost, ale od kapitoly o maticích se to stane
podstatným: matice se násobí zprava sloupcem, takže R·v dává smysl a
v·R ne. Kdo si zvykne psát vektory jako řádky, bude v půlce robotiky
transponovat všechno kolem sebe.
Kolik složek. V téhle labce se všechno počítá jako trojice, i rovinné úlohy — ty mají prostě třetí složku nulovou. Není to lenost: rovinný vektorový součin není číslo, je to vektor mířící ven z roviny, a kdo si ho zapíše jako skalár, přijde přesně o tu informaci, kterou u momentu potřebuje. Kalkulačka umí 2D režim, ale ten jenom skryje třetí řádek.