Sčítání, rozdíl a násobek
Ve složkách je to triviální: sečti po řádcích. Za tím ale stojí obrázek, který se vyplatí vidět, protože z něj plyne rovnoběžníkové pravidlo, komutativita i to nešťastné znaménko u rozdílu — a všechno tři naráz, ne jako tři pravidla k zapamatování.
- a a b — chceme a + b
Dva posuny, oba nakreslené z počátku. Sčítat se ale nedají „jak leží“ — sčítá se posun a po něm další posun.
- b začne tam, kde a končí
Vektor není nikde (kapitola 1), takže b se smí přesunout tak, aby začínal v hrotu a. Nic se tím nezměnilo — má pořád tytéž složky.
- a + b = (1,5, 3,0)
Součet je šipka z počátku rovnou na konec té cesty. Po složkách to vyjde prostě sečíst — což je celý důvod, proč se se složkami pracuje tak dobře.
- b napřed, pak a
A teď totéž obráceně: napřed b, pak a. Jiná cesta, jiné mezizastavení.
- a + b = b + a
Obě cesty končí ve stejném bodě. To je ta komutativita — a zároveň to vysvětluje rovnoběžníkové pravidlo: není to druhé pravidlo, je to týž obrázek nakreslený oběma způsoby najednou.
- a − b = (3,5, −1,0) — z hrotu b do hrotu a
Rozdíl a − b je šipka z hrotu b do hrotu a. Zapamatovat se to dá takhle: je to ten posun, který se musí přidat k b, aby vzniklo a. Odsud „koncový mínus počáteční“ u všeho, co se počítá jako rozdíl poloh.
Násobek: mění délku, ne směr
Vynásobit vektor číslem k znamená natáhnout ho k-krát. Pro záporné k navíc otočit o 180°. Směr se jinak nezmění — a právě proto se dá každý nenulový vektor napsat jako délka krát jednotkový vektor, což je rozklad, na kterém stojí celá kapitola 3.
Násobit vektor vektorem se nedá. Aspoň ne tak, jak by člověk čekal — „po složkách“ (a₁b₁, a₂b₂, a₃b₃) sice spočítat jde, ale nic to neznamená: výsledek závisí na tom, jak byla natočena soustava, takže to není geometrická veličina. Smysluplné součiny jsou dva, oba nesamozřejmé, a mají kapitoly 4 a 6.
Lineární kombinace — a kdy přestane fungovat
Výraz s·a + t·b se jmenuje lineární kombinace a je to jediná operace, kterou lineární algebra vlastně má. Otázka „na co všechno se s a a b dosáhne“ má obvykle odpověď „na celou rovinu“ — ale ne vždycky.
Tohle je v robotice ta nejdražší otázka, jakou lze položit: sloupce Jakobiánu jsou vektory a ptát se, „na jaké rychlosti chapadla dosáhnu“, znamená ptát se přesně na tohle. Když si dva sloupce lehnou na sebe, rameno je v singularitě a jeden směr pohybu prostě zmizí. Viz KineLab.