Souřadnicové soustavy a místo, kde přestanou fungovat

Kartézské souřadnice nejsou jediné a často nejsou nejlepší. Rameno, které se otáčí kolem osy, se popisuje mnohem přirozeněji úhlem a poloměrem než dvojicí x, y. Volba soustavy je pořád táž volba z kapitoly 1 — a je zdarma, dokud si člověk nevšimne, co za ni platí.

Konvence, kterou je nutné říct nahlas

U sférických souřadnic panuje skutečný zmatek v literatuře. Fyzikální konvence (a ISO 80000-2) měří φ dolů od osy z a θ je azimut v rovině. Matematická literatura ta dvě písmena často prohodí. Zeměpisná šířka se navíc měří od rovníku nahoru, tedy 90° − φ.

Tahle labka používá konvenci ISO: θ je azimut od osy x, φ se měří od osy z dolů. Testy ji pinují čtyřmi konkrétními případy — na +z vyjde φ = 0, v rovníkové rovině φ = 90° — právě proto, že prohozené písmeno je chyba, kterou žádný obecný test nechytí: všechny mezivýpočty vypadají správně a jenom výsledek je jinde.

Singularita: místo, kde soustava přestane být soustavou

Na severním pólu (φ = 0) ztratí θ jakýkoli význam. Ať se nastaví na cokoli, bod je pořád na ose. Kartézsky se nic nestalo — je to úplně obyčejný bod. Rozbila se soustava, ne prostor.

Praktické důsledky jsou tři a všechny bolí:

• Zpětný převod nemá jednoznačnou odpověď. Solver musí vrátit nějaké konečné θ (vrací 0), ne NaN — a testy ověřují, že se z něj bod aspoň vrátí zpátky na pól.
• Blízko pólu jsou rychlosti obrovské. Malý posun v prostoru znamená obrovskou změnu θ. Kdo plánuje trajektorii ve sférických souřadnicích, dostane u pólu prudký škubanec.
• Vyhnout se tomu nejde volbou lepší soustavy. Je to věta: kouli nelze pokrýt jedinou soustavou dvou souřadnic bez singularity. Ať se osy natočí kamkoli, pól se jen přestěhuje.

Kdy se která hodí

Kartézská soustava je jediná bez singularity — a to je při vší nudnosti její největší přednost.