Vzorkování: z levé poloroviny do jednotkového kruhu
Regulátor v počítači nepracuje se spojitým časem, ale se vzorky po T sekundách. Exponenciála e^(st) se tím změní na posloupnost (e^(sT))^k — takže veličina, se kterou se počítá, přestane být s a stane se
A s tím se změní i to, kde leží stabilita. V s byla podmínka „reálná část záporná“, tedy levá polorovina. Co z ní udělá z = e^(sT)? Modul je e^(σT), a ten je menší než 1 právě tehdy, když σ < 0. Takže:
| spojitě (s) | vzorkovaně (z) | |
|---|---|---|
| stabilní oblast | levá polorovina | vnitřek jednotkového kruhu |
| hranice | imaginární osa | jednotková kružnice |
| rychlé doznívání | daleko vlevo | blízko počátku |
| kmitání | daleko od reálné osy | úhel pólu |
Čtyři metody, čtyři různé obrazy
| metoda | vzorec | co dělá s levou polorovinou |
|---|---|---|
| přesná | z = e^(sT) | Přesně do kruhu — ale není racionální, takže se nedá použít po koeficientech. |
| dopředný Euler | z = 1 + sT | Do poloroviny vlevo od z = 1, což vyčnívá z kruhu. Umí stabilní soustavu rozbít. |
| zpětný Euler | z = 1/(1 − sT) | Do kruhu uvnitř jednotkového. Rozbít nemůže nic — ale tlumí, co tlumit nemá. |
| Tustin | z = (1 + sT/2)/(1 − sT/2) | Přesně na jednotkový kruh, celou levou polorovinu, bez zbytku. Proto je to výchozí volba. |
Nález, který spojuje dvě labky. Dopředný Euler zobrazí pól s = −λ na z = 1 − λT, což leží v kruhu právě když T < 2/λ. To je doslova táž nerovnost, kterou IntegralLab odvodil v kapitole 9 z podmínky |1 − hλ| < 1 pro explicitní Eulerovu metodu. Dvě labky, dvě různá odvození, jedno číslo — testy v repu ověřují, že na T = 2/λ leží obraz přesně na kružnici (odchylka 0 na 10⁻¹⁴).
Cena Tustina: zkroucení frekvenční osy
Tustin za svou dokonalou stabilitu platí tím, že si zdeformuje frekvenční osu. Nekonečná imaginární osa se musí vejít na konečnou kružnici, a to nejde bez stlačení:
Testy to měří: při 10 % Nyquistovy frekvence je zkreslení 0,8 %, při 90 % už 347 %. Prakticky to znamená, že návrh filtru přes Tustina musí frekvence předzkroutit — nastavit je tak, aby po deformaci padly tam, kam mají. FourierLab říká totéž z druhé strany, přes vzorkovací větu.
Aliasing, geometricky. Mapa z = e^(sT) je v imaginárním směru periodická s periodou 2π/T — takže ω a ω + 2π/T dají přesně týž bod. Testy to ověřují: rozdíl 1,3·10⁻¹³. To je aliasing, jen odvozený z komplexní roviny místo ze vzorkovací věty. Vzorkovaná soustava dvě takové frekvence od sebe nerozezná, protože se do stejného bodu zobrazily.