Póly a nuly: kde funkce vybuchne a kde zmizí
Přenosová funkce je podíl dvou polynomů, G(s) = N(s)/D(s). Kapitola 6 říká, že oba mají kořeny — a ty kořeny mají jména, protože jsou všechno, co je o soustavě potřeba vědět:
| co to je | co to dělá | |
|---|---|---|
| nuly | kořeny čitatele | tam je G(s) = 0 — soustava tu frekvenci nepustí |
| póly | kořeny jmenovatele | tam G(s) → ∞ — soustava tu má vlastní chování |
Jak se pól překládá do času
Z kapitoly 4: e^(st) pro s = σ + iω obíhá rychlostí ω a současně roste nebo klesá podle σ. Každý pól tedy odpovídá jednomu členu odezvy:
| pól | v čase | chování |
|---|---|---|
| reálný, záporný (−a) | e^(−at) | klesá bez kmitání; čím dál vlevo, tím rychleji |
| reálný, kladný (+a) | e^(+at) | roste — nestabilní |
| dvojice σ ± iω, σ < 0 | e^(σt)·cos(ωt + φ) | tlumené kmitání; ω je frekvence, σ tlumení |
| dvojice na ose (σ = 0) | cos(ωt + φ) | kmitá věčně — na hraně |
| v počátku (s = 0) | konstanta, resp. t | integrátor |
Tohle je celý obsah slova „stabilita“ u lineární soustavy — geometrická podmínka na množinu bodů v rovině. Nic víc.
Nuly v pravé polorovině: soustava, která jde nejdřív špatným směrem
Póly rozhodují o stabilitě. Nuly ne — ale jedna jejich vlastnost stojí za pozornost, protože překvapí i lidi, kteří s tím pracují. Přepni obrázek na (1 − s)/(s² + 1,4s + 1):
Nula v pravé polorovině posílá odezvu nejdřív na opačnou stranu. Změřeno v repu: soustava klesne na −0,249, než se vůbec vydá k cílové 0,998. Není to numerický artefakt, je to fyzika — takhle se chová letadlo při vytáčení výškovky, kotel při přidání studené vody, i některá kloubová ramena. A má to tvrdý důsledek pro regulaci: takovou soustavu nelze udělat libovolně rychlou, protože regulátor, který bude reagovat na tu první výchylku, ji bude prohlubovat.
Nula na imaginární ose je pásmová zádrž. U soustavy (s² + 4)/(s² + 1,2s + 4) leží nuly v ±2i, a odezva na frekvenci ω = 2 je přesně nula — testy měří 0,0·10⁰, tedy nula na bit. Tak se dělá filtr, který vyřízne jedinou frekvenci: síťových 50 Hz z měřicího signálu, nebo rezonanci ze ServoLabu.