Mocniny a odmocniny: kalkulačka ti ukáže jednu z n
V polárním tvaru je umocňování triviální: moduly se násobí, úhly sčítají, takže n-tá mocnina je rⁿ a nθ. Tomu se říká de Moivreova věta a je to jen kapitola 2 použitá n-krát.
Nazpátek to je zajímavější
Odmocňování musí de Moivrea obrátit: r^(1/n) a θ/n. Jenže argument je určený jen až na 2π — a když se k θ přičte 2π a pak se dělí n, vyjde jiný úhel. Tak vzniká n různých odmocnin, a teprve po n-tém kroku se to zacyklí.
Číslo 1 má tři třetí odmocniny, ne jednu. Kromě zřejmé jedničky ještě dvě komplexní, ležící ve vrcholech rovnostranného trojúhelníku. Kalkulačka vypíše jen tu první, což je praktické, ale zavádějící: rovnice x³ = 1 má tři řešení a dvě z nich by řešitel takhle přehlédl. Testy v repu ověřují, že jich vyjde přesně n, a že každá z 1824 zkoušených se umocněním vrátí na původní číslo.
Odmocniny jednotky a proč jsou důležité
Odmocniny z jedničky leží ve vrcholech pravidelného n-úhelníku na jednotkové kružnici. Mají dvě vlastnosti, které se pak potkají jinde:
- Sečtou se na nulu (pro n ≥ 2). Testy to měří pro n = 2 až 24: součet vyjde nejvýš 2,3·10⁻¹⁵. Je to symetrie — každé šipce odpovídá protější.
- Jsou to vzorkovací body Fourierovy transformace. DFT v FourierLabu je doslova vyhodnocení polynomu v n-tých odmocninách jednotky, a rychlá FFT je trik, jak toho využít.
Past se zápisem √. Symbol √ má u reálných čísel jasnou domluvu: je to ta nezáporná odmocnina. U komplexních žádná taková přirozená volba není — proto je pravidlo √a·√b = √(ab) u komplexních čísel neplatné. Klasický protipříklad: √(−1)·√(−1) = i·i = −1, kdežto √((−1)(−1)) = √1 = 1.