Fázory: proč se střídavý obvod počítá algebrou
Střídavý obvod je popsaný diferenciálními rovnicemi — cívka dává u = L·di/dt, kondenzátor i = C·du/dt. Řešit soustavu diferenciálních rovnic pro každý obvod by bylo nesnesitelné. ACLab to nedělá, a důvod je v téhle kapitole.
- A·cos(ωt + φ) = Re[A·e^(iφ) · e^(iωt)]
Bod obíhá kružnici; jeho stín na vodorovné ose kmitá jako kosinus. To není analogie, to je definice kosinu.
- e^(iωt) — stejné pro každý signál stejné frekvence
Když všechny signály v obvodu mají tutéž frekvenci, obíhají všechny stejně rychle. Ta rotace je pro všechny společná, a proto se dá vytknout.
- A·e^(iφ) = 1,00
Amplituda a fáze v jednom komplexním čísle. Čas z výpočtu zmizel — to je celá výhoda.
- součet = 1,27 + 0,75i → A = 1,48, φ = 31°
Místo goniometrických identit stačí sečíst dva vektory. Výsledek je zase fázor a jeho délka i úhel jsou hledaná amplituda a fáze.
- d/dt → ·iω
Derivovat e^(iωt) znamená vynásobit iω. Diferenciální rovnice obvodu se tím změní na algebraickou — cívka je iωL, kondenzátor 1/(iωC), a Ohmův zákon platí dál. Tohle je celý ACLab.
Trik má dva kroky a oba jsou nutné:
- Sinusovku nahradíme obíhajícím bodem a budeme sledovat jeho stín. Přidali jsme si imaginární část, kterou nikdo nechtěl — ale ta se na konci zahodí.
- Obíhání e^(iωt) je pro všechny signály stejné, takže se dá vytknout. Zbude komplexní číslo, ve kterém není čas: fázor.
Proč to funguje: derivace se stane násobením
| prvek | v čase | fázorově |
|---|---|---|
| rezistor | u = R·i | Z = R |
| cívka | u = L·di/dt | Z = iωL |
| kondenzátor | i = C·du/dt | Z = 1/(iωC) |
A pak už platí Ohmův zákon a Kirchhoffovy zákony úplně beze změny, jen s komplexními čísly. Celá uzlová analýza z CircuitLabu funguje dál — ACLab ji doslova spouští s komplexní aritmetikou místo reálné.
Kde je odplata za tu jednoduchost. Fázory platí jen pro ustálený stav při jediné frekvenci. Zapínací děj, obdélníkový průběh, rozjezd motoru — na to fázory nestačí. Buď se signál rozloží na frekvence (FourierLab) a fázory se použijí na každou zvlášť, nebo se sáhne po Laplaceově transformaci, která zvládne i přechodový děj. Kapitola 10.
Past s efektivními hodnotami. Elektrotechnická literatura má fázory ve dvou konvencích: s amplitudou a s efektivní hodnotou (amplituda dělená √2). Obě jsou správně a obě se používají — ale míchat je znamená mít výkon vedle o faktor 2. Vždycky se musí vědět, která konvence platí.