Rovina: sečíst je posunout, vynásobit je otočit
Komplexní číslo je bod v rovině: reálná část vodorovně, imaginární svisle. Sčítání je pak posunutí, přesně jako u vektorů — to není zajímavé. Zajímavé je násobení, a stojí za to ho odvodit pomalu, protože z něj plyne celý zbytek téhle labky.
- a = 1,18 + 0,55i b = 0,63 + 0,90i
Reálná část vodorovně, imaginární svisle. Zatím je to obyčejná rovina a obyčejné šipky.
- a + b = (aᵣ + bᵣ) + (aᵢ + bᵢ)i
Sčítání je posunutí — přesně jako u vektorů. Nic nového. Zajímavé začne být násobení.
- (aᵣ + aᵢi)(bᵣ + bᵢi) = aᵣbᵣ + aᵣbᵢi + aᵢbᵣi + aᵢbᵢi²
Roznásobí se to jako každá závorka. Poslední člen má i², a to je −1 — takže se z něj stane záporný reálný člen.
- ab = 0,25 + 1,41i
Vyjde zase komplexní číslo. To samo o sobě ještě nic neříká — teprve když se to nakreslí, je vidět, co se stalo.
- |ab| = 1,430 = |a|·|b| = 1,30 · 1,10
Délka výsledku je součin délek. Násobení tedy natahuje — a to o tolik, kolik měří ten druhý činitel.
- arg(ab) = 80,0° = arg a + arg b = 25° + 55°
Úhel výsledku je součet úhlů. Násobení tedy otáčí — a to o tolik, o kolik je natočený ten druhý činitel.
- násobit číslem = otočit o jeho úhel a natáhnout o jeho délku
Tohle je celá labka v jedné větě. Číslo i má délku 1 a úhel 90°, takže jím násobit znamená jenom otočit o 90° — přesně jak slibovala první kapitola. A všechno další — Euler, fázory, póly — je tahle věta v jiném oblečení.
Komplexní číslo není jen bod — je to operace. Násobit číslem b znamená otočit o arg b a natáhnout o |b|. Odtud plyne úplně všechno: proč je i² = −1 (dvakrát 90° je 180°), proč roste e^(iθ) po kružnici, proč fázory fungují a proč pól v pravé polorovině znamená nestabilitu.
Testy v repu tuhle větu neověřují na příkladu, ale jako zákon: 3000 náhodných dvojic, moduly se násobí na 5·10⁻¹⁶ a úhly sčítají na 2·10⁻¹⁵ radiánu. To je rozdíl mezi „vyzkoušeli jsme to“ a „platí to“.
Násobení i, čtyřikrát
| krok | výsledek | úhel |
|---|---|---|
| 1 | i | 90° |
| i·i | −1 | 180° |
| i·(−1) | −i | 270° |
| i·(−i) | 1 | 360° = zpátky |
Čtyři otočení o 90° dají celý kruh. Proto se mocniny i cyklicky opakují po čtyřech — a proto se ta perioda 4 objeví u čehokoli, kde se sčítají pravé úhly.
Čím se to liší od vektoru
V rovině umí vektor sčítat a násobit číslem. Neumí se ale násobit sám se sebou tak, aby vyšel zase vektor v rovině: skalární součin dá číslo, vektorový vede ven do třetího rozměru. Komplexní čísla tuhle díru zaplní — a to je jediný, ale zásadní rozdíl. Cenou je, že tenhle trik funguje jenom ve dvou rozměrech (a v jistém smyslu ve čtyřech, což jsou kvaterniony z RotLabu); ve třech se to prokazatelně nedá.