Laplaceova transformace: fázor, který umí i přechodový děj
Fázory z kapitoly 7 mají jasnou hranici: platí jen v ustáleném stavu při jediné frekvenci. Laplaceova transformace tu hranici odstraní jedinou změnou — exponent přestane být čistě imaginární.
| exponent | co to umí | |
|---|---|---|
| fázor | iω (čistě imaginární) | ustálené kmitání |
| Fourier | iω, ale všechna ω naráz | libovolný ustálený signál |
| Laplace | σ + iω | kmitání a růst nebo doznívání |
Ta reálná část σ je celý rozdíl. Umožní popsat e^(−2t)·sin(5t), tedy typickou odezvu soustavy po skoku — něco, co fázor popsat neumí, protože fázor předpokládá, že amplituda je konstantní.
Proč se to vyplatí: derivace se stane násobením, podruhé
To je táž výhoda jako u fázorů, jen obecnější. Diferenciální rovnice se změní na algebraickou rovnici v s, ta se vyřeší jako zlomek, a přenosová funkce z kapitoly 8 je přesně ten zlomek. Póly nejsou dodatečná konstrukce — jsou to jmenovatelovy kořeny toho, co vyšlo z rovnice.
Členy s počáteční podmínkou. Ve vzorci pro derivaci je navíc −f(0). Právě tenhle člen odlišuje Laplacea od Fouriera a je důvod, proč Laplace umí zapínací děj: počáteční stav soustavy se do výpočtu dostane sám, jako součást algebry. Když se předpokládá nulový počáteční stav (což se v ControlLabu dělá), člen vypadne a zbude jen přenosová funkce.
Tabulka, kterou stačí znát
| f(t) | F(s) | póly |
|---|---|---|
| 1 (skok) | 1/s | 0 |
| t | 1/s² | 0 dvojnásobně |
| e^(−at) | 1/(s + a) | −a |
| sin(ωt) | ω/(s² + ω²) | ±iω |
| e^(−at)·sin(ωt) | ω/((s+a)² + ω²) | −a ± iω |
| δ(t) (impuls) | 1 | žádné |
Poslední sloupec je ta pointa: pól v s = −a ± iω znamená v čase e^(−at)·sin(ωt). Tabulka se tak dá číst oběma směry a kapitola 8 je jen ten druhý směr.
Co se tady nepočítá. Solver v téhle labce Laplaceovu transformaci nepočítá symbolicky — pracuje s přenosovými funkcemi, které už jsou v podobě podílu polynomů. Zpětná transformace se dělá rozkladem na parciální zlomky přes rezidua v pólech, a to funguje jen pro jednoduché póly. U násobných pólů (kde se objeví členy t·e^(pt)) se solver přepne na numerickou simulaci RK4 — a testy ověřují, že obě cesty dávají totéž tam, kde platí obě: shoda na 2,4·10⁻¹¹.