Polární tvar, sdružené číslo a dělení

Tohle je statická kopie kapitoly pro vyhledávače. Interaktivní verze má animované obrázky, kontrolní otázky a tlačítka, která příklad načtou do kalkulačky.

Kapitola 2 ukázala, že při násobení se chová hezky délka a úhel, ne reálná a imaginární část. To je návod, jak čísla zapisovat — jenom se ten správný zápis musí pojmenovat.

z = a + bi = r·(cos θ + i·sin θ), r = |z| = √(a² + b²), θ = arg z = atan2(b, a)dva zápisy téhož

operace	ve složkách	v polárním tvaru
sčítání	snadné — po složkách	ošklivé
násobení	čtyři součiny a přeskupení	snadné — r·r, θ+θ
dělení	trik se sdruženým číslem	snadné — r/r, θ−θ
mocnina	nepoužitelné	triviální — rⁿ, nθ

Proto se v elektronice počítá s fázory (polárně) a ne se složkami: měří se amplituda a fáze, a to jsou přesně r a θ.

Sdružené číslo: nejužitečnější trik v oboru

Sdružené číslo z̄ je zrcadlový obraz podle reálné osy: a + bi → a − bi. Jediná vlastnost, pro kterou existuje:

z · z̄ = a² + b² = |z|² — vždycky REÁLNÉ čísloproto se dělí právě takhle

Dělit komplexním číslem se totiž přímo neumí. Ale rozšířit zlomek sdruženým číslem jmenovatele umí každý, a jmenovatel se tím stane reálný — a dělit reálným číslem už je triviální.

a/b = (a·b̄) / (b·b̄) = (a·b̄) / |b|²dělení, celé

Kde se sdružené číslo objeví samo od sebe. Polynom s reálnými koeficienty má kořeny buď reálné, nebo ve sdružených dvojicích — což je věta, ne shoda okolností, a kapitola 6 ji používá. Prakticky: reálná soustava nemůže mít jediný komplexní pól. Když ho výpočet vyplivne, je někde chyba. Testy v repu tohle kontrolují na 400 náhodných polynomech.

Logaritmus a řez

Argument je určený jen až na násobky 2π — otočení o 360° nikam nevede. To má důsledek: log z = ln|z| + i·arg z není jednoznačná funkce, ale nekonečně mnoho funkcí lišících se o 2πi. Programy vracejí tzv. hlavní hodnotu s argumentem v (−π, π], a na záporné reálné poloose proto skáče o 2π. Tomu se říká řez a není to vada implementace; je to vlastnost té funkce.

Past, na kterou se naráží v praxi. Když se počítá fáze frekvenční charakteristiky, atan2 ji vrátí vždycky v (−180°, 180°], takže Bodeho graf má v místech, kde fáze projde přes 180°, svislý sráz o 360°. Neznamená to, že soustava něco dělá — znamená to, že se fáze musí rozbalit (přičíst násobek 360° tak, aby křivka byla spojitá). Solver v téhle labce to dělá, a kapitola 9 ukazuje, jak by to vypadalo, kdyby ne.