i není imaginární — je to otočení
Jméno „imaginární“ je historická urážka. Vymyslel ho Descartes, který těm číslům nevěřil, a drží se dodnes — s tím výsledkem, že se generace studentů učí, že jde o něco, co neexistuje. Přitom je to obyčejný geometrický objekt a dá se popsat jednou větou:
Násobit číslem i znamená otočit o 90° doleva. Nic záhadného. A protože dvě otočení o 90° dají otočení o 180°, což je totéž jako násobit −1, platí i² = −1. To není definice, ze které se dá jen odvozovat; to je důsledek toho, co i dělá.
Proč se to muselo vymyslet
Ne kvůli rovnici x² = −1 — ta se dá prostě prohlásit za neřešitelnou a nikomu nic nechybí. Skutečný důvod přišel u kubických rovnic v 16. století. Cardanův vzorec pro x³ = 15x + 4 dá odpověď, ve které se cestou objeví odmocnina ze záporného čísla — a přesto je výsledek x = 4, což je poctivé, kladné, celé číslo, které si každý ověří dosazením.
Bylo tedy nutné projít místem, které „neexistuje“, aby se došlo k odpovědi, která existuje zcela nepochybně. To je věcný argument, ne filozofický.
Kde se s tím v akademii potkáš
| labka | co je tam komplexní |
|---|---|
| ACLab | Impedance. Ta jediná finta mění diferenciální rovnice na obyčejnou algebru — cívka je iωL, kondenzátor 1/(iωC), a Ohmův zákon platí dál. |
| ControlLab | Póly přenosové funkce rozhodují o stabilitě. Frekvenční charakteristika je táž funkce dosazená na imaginární osu. |
| FourierLab | e^(−iωt) je celá transformace. |
| RotLab | Kvaterniony jsou to samé o dvě dimenze výš — a ze stejného důvodu: skládat otočení násobením je pohodlnější než maticemi. |
Tahle labka je podlaha, na které ty čtyři stojí. Je psaná tak, aby se četla před nimi.
Co „reálná část“ neznamená. Reálná část není „ta skutečná“ a imaginární „ta vymyšlená“. Jsou to dvě souřadnice, přesně jako x a y u vektoru z VectorLabu. Rozdíl proti vektoru je jediný, ale zásadní: komplexní čísla se umí mezi sebou násobit a výsledek je zase komplexní číslo. Vektory v rovině tohle neumí — skalární součin dá číslo, vektorový vede ven z roviny.