Eulerův vzorec: exponenciála JE goniometrie
Tenhle vzorec bývá podán jako kouzelnický trik. Není. Odvodí se dosazením do řady a roztříděním členů — a jediná „odvaha“ v celém postupu je připustit, že do mocninné řady se smí dosadit komplexní číslo.
- e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + …
Exponenciála je nekonečná řada. Do řady se ale dá dosadit cokoli, s čím se umí počítat — a s komplexním číslem se počítat umí.
- e^(iθ) = 1 + iθ + (iθ)²/2! + (iθ)³/3! + …
Nic se nezakazuje. Jen se musí spočítat mocniny i: i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, a pak se to opakuje — perioda 4 z kapitoly 2.
- (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) + i(θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …)
Členy s i na sudou mocninu jsou reálné, s lichou imaginární. Když se roztřídí, vzniknou dvě řady — a obě jsou povědomé.
- cos θ + isin θ
To nejsou podobné řady — jsou to přesně Taylorovy řady kosinu a sinu, které mohl čtenář potkat v DerivLabu, kapitole 4. Nic se nepodstrčilo.
- e^(iθ) = cos θ + i·sin θ
Exponenciála a goniometrie jsou totéž, jen se na to dívá reálným, respektive komplexním okem. Vlevo se násobí, vpravo se sčítají úhly — a to je celý důvod, proč se pak dá s kmitáním počítat algebraicky.
- e^(iπ) + 1 = 0
Dosadit π znamená otočit se o půl kruhu, a tam leží −1. Slavná identita není mystika — je to jeden konkrétní bod na téhle kružnici. Numericky vychází na 1,2·10⁻¹⁶, tedy nula na poslední bit.
Testy v repu tohle ověřují tak, že spočítají řadu nezávisle a porovnají s cos θ + i sin θ na 400 náhodných úhlech: shoda na 1,3·10⁻¹⁴. A e^(iπ) + 1 vyjde 1,2·10⁻¹⁶ — nula na poslední bit dvojité přesnosti.
Co z toho plyne prakticky
| zápis | co je vidět |
|---|---|
| r·e^(iθ) | Polární tvar bez psaní kosinů. Násobení = r₁r₂·e^(i(θ₁+θ₂)), protože exponenty se sčítají — kapitola 2 najednou vypadá samozřejmě. |
| e^(iωt) | Bod obíhající jednotkovou kružnici úhlovou rychlostí ω. To je fázor z kapitoly 7 a celý ACLab. |
| e^(st), s = σ + iω | Obíhá a současně roste nebo klesá podle σ. Odsud plyne, proč pól vlevo znamená tlumení a pól vpravo růst — kapitola 8. |
| cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 | Goniometrické vzorce se přestanou učit nazpaměť a začnou počítat. Součtové vzorce jsou jen roznásobení exponenciál. |
Zkouška, která přesvědčí i skeptika. Vezmi e^(iα)·e^(iβ) = e^(i(α+β)) a roznásob obě strany přes Eulerův vzorec. Vlevo vyjde (cos α cos β − sin α sin β) + i(sin α cos β + cos α sin β), vpravo cos(α+β) + i·sin(α+β). Porovnáním reálných a imaginárních částí vypadnou obě součtové věty naráz — ty, které se ve škole učí zpaměti. Testy v repu ověřují e^(a+b) = e^a·e^b na 1000 náhodných dvojicích.
Kde to přestane platit tak hezky. Pravidlo (e^a)^b = e^(ab) pro komplexní exponenty neplatí obecně, protože umocňování prochází logaritmem a ten má řez z kapitoly 3. Odtud pochází klasický „důkaz“, že 1 = −1. Sčítat exponenty je bezpečné vždycky; násobit je jen tehdy, když se hlídají větve.