Co zpoždění dělá se smyčkou
Zpoždění dělá se smyčkou přesně jednu věc, a ta se dá napsat na jeden řádek. Nezhoršuje zesílení, nepřidává šum, nemění tvar odezvy sama o sobě: ubírá fázovou bezpečnost, a to lineárně s časem.
- |e−jωT| = 1
Přenos čistého zpoždění má velikost přesně jedna na každé frekvenci. Amplitudová charakteristika se nehne ani o decibel — a to je celá první polovina odpovědi.
- ωc = 2π·5,0 = 31,42 rad/s
Frekvence, kde zesílení smyčky prochází jedničkou, závisí jen na velikosti. Zpoždění ji tedy nechá přesně tam, kde byla. To není přiblížení, to je rovnost.
- Δφ = 36,0°
Fáze zpoždění je −ωT radiánů a roste s frekvencí lineárně. Na frekvenci ω_c to je přesně ω_c·T — a přesně tolik ubude z fázové bezpečnosti.
- 60° − 36,0° = 24,0°
Šedesát stupňů minus ztráta. Pod třicet to zvoní, pod nulou to kmitá. Žádná jiná veličina do toho nevstupuje.
Proč to platí přesně
Přenos čistého zpoždění je e−jωT. Jeho velikost je přesně jedna na každé frekvenci — zpoždění nezesiluje ani neztlumuje nic. Amplitudová charakteristika otevřené smyčky je tedy se zpožděním i bez něj tatáž křivka, a frekvence, kde protíná jedničku, je tatáž frekvence.
Fáze je ale −ωT radiánů a s frekvencí roste. Na frekvenci ω_c ubere právě ω_c·T radiánů, a protože fázová bezpečnost je definovaná právě tam, ubere přesně tolik i z ní.
Číslo do hlavy
Jeden stupeň fáze stojí 1/(360·f_c) sekundy. Z toho plyne tabulka, kterou se vyplatí umět zpaměti:
| šířka pásma smyčky | 1 ms stojí | na 30° zbývá |
|---|---|---|
| 1 Hz (teplota, hladina) | 0,36° | 83 ms |
| 5 Hz (jízda mobilního robota) | 1,8° | 17 ms |
| 20 Hz (rameno, poloha) | 7,2° | 4,2 ms |
| 100 Hz (rychlostní smyčka) | 36° | 0,83 ms |
| 1 kHz (proudová smyčka) | 360° | 0,08 ms |
Poslední řádek je odpověď na otázku, proč se proudová smyčka pohonu nikdy nedělá po síti, natožpak bezdrátově. Celý její rozpočet fáze je osmdesát mikrosekund — to je méně, než trvá jeden rámec na vzduchu.
Ověření, které stojí za zmínku: tenhle vzorec se v testech neporovnává sám se sebou. ControlLab počítá fázovou bezpečnost z frekvenční charakteristiky soustavy s dopravním zpožděním úplně jinou cestou — a testy vyžadují, aby obě labky daly totéž číslo, a hlavně aby ω_c vyšla stejná. Kdyby se hnula, byla by tahle kapitola nepravdivá.
Co z toho plyne pro návrh
- Nejdřív se ptej, jak rychlá ta smyčka je. Bez f_c je jakékoli číslo o latenci bezcenné.
- Rozpočet fáze je pevný. Šedesát stupňů se rozdělí mezi vzorkování, filtry a spoj — a co si vezme jedno, nezbude druhému.
- Pomalejší smyčka je legitimní řešení. Snížit f_c na polovinu zdvojnásobí povolené zpoždění. Často je to levnější než zrychlovat síť.