Integrál je plocha — a plocha se znaménkem
Obsah obdélníku umí každý. Plocha pod křivkou je stejná úloha, jen bez rovných stran — a řeší se tak, že se křivka nahradí spoustou obdélníků a pak se jich udělá nekonečně mnoho.
- kolik je plochy pod f(x) od a do b?
Obsah obdélníku umíme. Obsah pod křivkou ne — zatím.
- Σ f(xᵢ)·Δx ≈ 2,0230
Rozřežeme to na proužky a každý nahradíme obdélníkem. Obsah obdélníku umíme — a sečíst čísla taky.
- n = 6 → chyba 0,02303
Čím užší proužky, tím míň zbývá. A na rozdíl od derivace se to zjemňováním nezhorší — sčítají se čísla téhož znaménka, takže se nic nevyruší.
- ∫ₐᵇ f(x) dx = lim_{n→∞} Σ f(xᵢ)Δx
Ta limita se jmenuje určitý integrál. Protáhlé S je stylizované „součet“ a dx je ta šířka proužku, která jde k nule — zápis je popis toho, co se právě stalo.
- plocha pod osou se počítá záporně
Kde je funkce záporná, přispívá záporně. Integrál tedy není obsah v geometrickém smyslu — je to plocha se znaménkem. U sinu přes celou periodu vyjde nula, i když se tam plocha zjevně nachází.
Zápis je popis toho, co se stalo: protáhlé S je „součet“, dx je šířka proužku, která jde k nule. Když se to čte takhle, přestane to být magie.
Znaménko: integrál není obsah
Kde je funkce záporná, přispívá záporně. Přes celou periodu sinu proto vyjde nula, i když je tam plochy plno. Kdo chce geometrický obsah, musí integrovat |f| — a to je jiná, těžší úloha.
Tahle vlastnost není vada; je to celý důvod, proč integrál v technice funguje. Když se integruje rychlost, chce se čistá dráha, ne ujeté kilometry: couvání se má odečíst. Když se integruje výkon, chce se čistá energie: rekuperace se má odečíst.
Co všechno je integrál
| integruje se | vyjde |
|---|---|
| rychlost podle času | dráha |
| zrychlení podle času | rychlost |
| výkon podle času | energie |
| proud podle času | náboj |
| síla podle dráhy | práce |
| hustota podle objemu | hmotnost |
| √(1 + f′²) podle x | délka křivky |
Kde měřit výšku proužku. Vlevo, vpravo, nebo uprostřed? Pro monotónní funkci leží levý a pravý součet z opačných stran pravdy — takže mezi nimi je odpověď a jejich průměr je lichoběžníkové pravidlo. A ten střed je lepší než obojí při stejném počtu vyhodnocení, což překvapí každého, kdo předpokládá, že použít oba konce musí být přesnější. Testy v repu měří, že je zhruba dvakrát lepší než lichoběžník.