Základní věta: integrál je derivace pozpátku
Kapitola 1 skončila u nekonečného součtu. To se počítat nedá — potřebujeme zkratku, a ta existuje. Je to nejdůležitější věta v celé analýze a dokáže se jedním tenkým proužkem.
- A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt
Nechme horní mez proměnnou. Vznikne funkce: „plocha nasbíraná až po x“. Roste, jak se x posouvá doprava.
- A(x+h) − A(x) = plocha tenkého proužku
Posuňme se o kousek. Přibude tenký proužek — a ten je skoro obdélník.
- A(x+h) − A(x) ≈ f(x) · h
Výška proužku je f(x), šířka h. Čím je h menší, tím přesnější to je.
- (A(x+h) − A(x)) / h ≈ f(x)
A tohle je přesně definice derivace z DerivLabu, kapitoly 1. Levá strana je diferenční podíl funkce A.
- A′(x) = f(x)
Derivace nasbírané plochy je ta původní funkce. Integrování a derivování jsou opačné operace — a to není definice, to je věta, kterou právě dokázal jeden tenký proužek.
- ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a)
Praktický dopad: místo nekonečného součtu stačí najít funkci, jejíž derivace je f, a odečíst dvě hodnoty. Celý integrální počet je vlastně derivování pozpátku.
Praktický dopad: místo nekonečného součtu stačí najít funkci, jejíž derivace je f, a odečíst dvě hodnoty. Integrování je hledání derivace pozpátku.
Jenže pozpátku je to mnohem těžší
A tady je rozdíl, který stojí za zapamatování, protože je přesně opačný, než by člověk čekal z DerivLabu:
| derivace | integrál | |
|---|---|---|
| symbolicky | vždycky jde, mechanicky podle pravidel | často nejde vůbec |
| numericky | ošemetné (viz DerivLab, kap. 3) | snadné a spolehlivé |
Každou elementární funkci lze zderivovat podle pravidel. Většinu jich nelze zintegrovat — ne že by to bylo těžké, ale primitivní funkce prostě neexistuje mezi elementárními funkcemi. Nejznámější příklad je e^(−x²), ze kterého je celá Gaussova statistika; není to lenost, je to dokázáno (Liouvilleova věta).
Takže: pro symbolické integrování existují triky (substituce, per partes, rozklad na parciální zlomky) a tabulky, ale v praxi se integruje numericky — a to je zbytek téhle labky.
Substituce je řetízkové pravidlo pozpátku. A per partes je pravidlo pro součin pozpátku. Obě techniky nejsou nic nového — jsou to derivační pravidla čtená zprava doleva, a proto je jich tak málo: kolik pravidel má derivace, tolik technik má integrál.