Zjemňování — a proč to tady, na rozdíl od derivace, funguje
V DerivLabu byla ta nejdůležitější věta celé labky: zjemňovat krok pod optimum odpověď zhoršuje. Křivka chyby tam měla tvar V. Tady se stejný obrázek nakreslí znovu — a nemá tvar V.
| numerická derivace | numerický integrál | |
|---|---|---|
| počítá se | rozdíl blízkých čísel | součet čísel |
| zaokrouhlení | katastrofické krácení | jen pomalu narůstá |
| křivka chyby | V — má minimum | klesá a klesá |
| optimální krok | ~ε^(1/(p+1)), tj. 10⁻⁶ až 10⁻⁸ | čím menší, tím lepší |
Důvod je jednoduchý a stojí za vyslovení nahlas: derivace odečítá, integrál sčítá. Když se od sebe odečtou dvě čísla, která se shodují na dvanácti platných cifrách, zbude šumu víc než signálu. Když se sečtou tisíce čísel téhož znaménka, nic se nevyruší — chyba roste jen jako √n z náhodných zaokrouhlení, což je o mnoho řádů později.
Testy v repu tohle měří přímo: zjemňování se u žádného pravidla nikdy neotočí napříč celým rozsahem, který se dá spočítat. To je zrcadlo DerivLabu, kde se otočí vždycky.
Jak se čte sklon
Na log-log grafu je řád metody sklon přímky. Zdvojnásobit n a chyba klesne 2^p, takže na obrázku klesne o p „pater“ za jeden krok doprava. Naměřeno: levý součet 1,98 (řád 1 — každé zdvojnásobení půlí chybu), střed 4,00 a lichoběžník 4,00 (řád 2 — chyba klesá čtyřikrát), Simpson 16,00 (řád 4).
Kdy levý součet přestane být prvního řádu. Přepni obrázek na sinus a červená křivka zmizí. Není to chyba vykreslování: levý a pravý součet se od lichoběžníku liší přesně o (f(b) − f(a))·h/2, takže když se funkce v obou krajích rovná, levý součet JE lichoběžníkové pravidlo — a je najednou druhého řádu. Na sinu přes [0, π] jsou oba kraje nula, takže se to stane. Je to hezká ukázka toho, že „řád metody“ není vlastnost metody samotné, ale metody na dané úloze.
Podlaha na 10⁻¹⁶. Křivky se u dost velkého n přestanou zlepšovat a zploští se kolem 10⁻¹⁶. To není chyba metody, to je hranice strojové přesnosti z DerivLabu, kap. 3 — dvojitá přesnost prostě nemá víc cifer. Gauss-5 na hladké úloze do té podlahy dojede při pár desítkách bodů a dál se nedá nic dělat.