Nekonečné meze a nekonečné hodnoty
Dvě situace, ve kterých rovnoměrná mřížka selže na první pokus — a obě mají v technice běžný výskyt.
1. Singularita uvnitř nebo na kraji
Funkce 1/√x na intervalu [0, 1] má konečnou plochu 2, přestože v nule roste nade všechny meze. Jenže každé pravidlo, které vyhodnocuje krajní bod — lichoběžník, Simpson, levý součet — tam dělí nulou.
| co s tím | jak |
|---|---|
| použít pravidlo, které kraje nevyhodnocuje | střed nebo Gauss — uzly leží uvnitř |
| odsubstituovat singularitu pryč | x = t² ⇒ ∫₀¹ 1/√x dx = ∫₀¹ 2 dt = 2, přesně |
| useknout a odhadnout zbytek | nejméně elegantní a nejhůř se hlídá |
Ta substituce stojí za pozornost: úloha, která numericky nejde, se stala triviální. Integrand se změnil na konstantu. Tak vypadá dobře zvolená substituce — neusnadní práci, ona ji zruší.
2. Nekonečná mez
∫₀^∞ e^(−x) dx = 1. Počítač nekonečno vyhodnotit neumí, ale substituce mez stáhne:
Interval je najednou konečný a platí na něm všechno z kapitoly 4. Cenou je, že integrand u t = 1 vypadá ošklivě — ale pokud f klesá dost rychle, součin má konečnou limitu a Gauss, který kraj nevyhodnocuje, si s tím poradí.
Konečná plocha pod nekonečnou funkcí není paradox. Rozhoduje, co je rychlejší: jak funkce roste proti tomu, jak se zužuje interval. U 1/√x plocha konverguje, u 1/x už ne — a rozdíl mezi nimi je jen exponent ½ proti 1. Numerická metoda tenhle rozdíl sama nepozná: v obou případech vrátí konečné číslo. Jestli integrál vůbec existuje, musí rozhodnout člověk předem.