Pravidla — a proč jich je tak málo
Derivace má pravidlo pro součin, podíl, složení i mocninu, a všechna se dají použít mechanicky. Integrál má tatáž pravidla čtená zprava doleva — a to je celý seznam.
| u derivace | u integrálu |
|---|---|
| linearita | linearita — jediné, co funguje pokaždé |
| řetízkové pravidlo | substituce |
| pravidlo pro součin | per partes |
| pravidlo pro podíl | rozklad na parciální zlomky (jen pro racionální fce) |
Co u integrálu NENÍ
Tohle je místo, kde se nejčastěji chybuje, a stojí za to napsat to velkými písmeny:
Integrál součinu není součin integrálů. ∫(f·g) ≠ (∫f)·(∫g). Ani náhodou, ani přibližně. Totéž pro podíl. Derivace má aspoň pravidlo, které řekne, co se součinem udělat; integrál má jen per partes, a to úlohu nevyřeší — jen ji vymění za jinou, v naději, že bude snazší.
A většina integrálů prostě nejde
Následující funkce jsou dokonale hladké, spojité a nekomplikované — a žádná z nich nemá primitivní funkci mezi elementárními funkcemi:
| funkce | kde se potká |
|---|---|
| e^(−x²) | Gaussovo rozdělení, veškerá statistika — StatLab |
| sin(x)/x | odezva ideálního filtru — FourierLab |
| √(1 + cos²x) | délka sinusoidy — obyčejná geometrie |
| e^x/x | vedení tepla |
| √(1 − k²sin²θ) | perioda kyvadla při velkých výkyvech |
Není to obtížnost, je to dokázaná neexistence (Liouville, 1835). Proto se zbytek téhle labky věnuje numerice: v technice se integrál skoro nikdy nepočítá vzorcem.
Délka sinusoidy. Nakreslit ji umí dítě. Spočítat její délku vzorcem neumí nikdo — vede to na eliptický integrál. Když se v kapitole 4 objeví numerická kvadratura, není to náhradní řešení pro lenochy; je to jediné řešení i pro tuhle triviálně vypadající úlohu.