Numericky: od obdélníků ke Gaussovi
Když primitivní funkce neexistuje, zbývá vzít vzorek hodnot a z nich odhadnout plochu. Všechna pravidla dělají totéž: váženy součet vyhodnocení funkce. Liší se jen tím, kde měří a jakými vahami.
| pravidlo | kde měří | přesné pro | řád chyby |
|---|---|---|---|
| levý / pravý součet | na kraji dílku | konstantu | h |
| střed | uprostřed dílku | přímku | h² |
| lichoběžník | na obou krajích | přímku | h² |
| Simpson | kraje + střed | kubiku (!) | h⁴ |
| Gauss-m | ve vypočtených bodech | polynom stupně 2m−1 | h^(2m) |
Dvě věci, které tabulka říká a intuice ne
1. Simpson je přesný i pro kubiku, přestože prokládá parabolou. Kubický člen je vůči středu dílku lichý a při symetrickém vážení se přesně vyruší. Dostane se tedy o řád víc, než za co se platí — a proto je Simpson standardní volba.
2. Gauss měří v bodech, které nejsou hezké. Uzly nejsou rovnoměrné ani v krajích; jsou to kořeny Legendreova polynomu. Za to, že si smí vybrat kde, dostane dvojnásobný řád: pěti body integruje přesně každý polynom až do stupně devět. Testy v repu to měří: na úloze devátého stupně dá Gauss-5 chybu 1,2·10⁻¹⁵, zatímco Simpson při stejné ceně 8,9·10⁻¹.
Cena se měří vyhodnoceními, ne dílky. Srovnávat „Simpson s n = 100“ a „Gauss s 20 panely“ podle n je nefér — Gauss má 5 uzlů na panel, takže vyhodnocuje stotřikrát. Obrázek proto vypisuje počet bodů: v reálné úloze, kde je jedno vyhodnocení simulace za dvě sekundy, je to jediné číslo, na kterém záleží.