6. Singularity a manipulovatelnost
V singularitě ztratí Jakobián hodnost: existuje směr, kterým se nástroj nemůže pohnout, ať kloubům poručíš cokoliv. Rameno o stupeň volnosti opravdu přišlo — na rozdíl od gimbal locku, který je jen selhání souřadnic.
w = 0.880 · σ₁ = 1.458 · σ₂ = 0.604 · podmíněnost = 2.4. Přitáhni θ₂ k 0° nebo 180° a elipsa se zploští do úsečky — v tom směru se špička nemůže hnout vůbec.
Manipulovatelnost
w = √det( J JT )Yoshikawa 1985
Objem elipsoidu rychlostí — tedy jak rychle a jak všestranně se špička umí pohnout. Pro čtvercový Jakobián je to prostě |det J|, a pro rovinné 2R vyjde w = l₁l₂|sin θ₂|, což lze ověřit ručně (a v testech to ověřené je).
Podmíněnost je přísnější
w = 0 přesně v singularitě, ale podmíněnost σmax/σmin řekne o problému mnohem dřív. Blízko singularity už jeden směr prakticky nejde, i když objem elipsoidu vypadá slušně — a to je ten stav, ve kterém robot začne v jednom směru vyžadovat absurdní rychlosti kloubů.
Tři druhy, se kterými se potkáš
- Hraniční: rameno je natažené naplno. Nejde ven, protože už není kam. Nevyhnutelné a předvídatelné.
- Vnitřní: dvě osy se srovnají uvnitř pracovního prostoru. Nejhorší druh — přijdou nečekaně uprostřed dráhy.
- Singularita zápěstí: u sférického zápěstí splynou osy 4 a 6, když je θ₅ = 0. Rameno pak nemůže otáčet kolem jednoho směru. Prakticky nejčastější a je proto v testech zvlášť.
Izotropní poloha. Podmíněnost rovná 1 znamená, že je špička stejně
hbitá do všech směrů — elipsoid je koule. Rovinné 2R to dokáže jen když
l₂ = l₁/√2 a θ₂ = ±135°. Pravděpodobný odhad „stejná ramena v pravém úhlu“ je
špatně: stejná ramena izotropní polohu nemají vůbec a nejlepší, na co dosáhnou, je 1,618.
Ověřeno v testech obojí.