Tohle je statická kopie kapitoly pro vyhledávače. Interaktivní verze má animované obrázky, kontrolní otázky a tlačítka, která příklad načtou do kalkulačky.
3. DH parametry a dvě konvence
Obecná transformace mezi dvěma rámci má šest čísel. Denavit a Hartenberg si všimli, že
mezi dvěma osami kloubů stačí čtyři — když se rámce umístí chytře.
Čtyři čísla na kloub, a ani jedno není libovolné: os kloubů se dotýká právě jedna společná kolmice a ta určuje všechno ostatní. a je její délka, α je úhel mezi osami měřený kolem ní, d je posun podél osy kloubu a θ je úhel kolem téže osy. Právě proto stačí na obecnou transformaci mezi dvěma osami čtyři čísla místo šesti.
Trik je v tom, že mezi dvěma mimoběžnými přímkami existuje právě jedna společná kolmice.
Položí-li se rámce na ni, dvě z těch šesti čísel jsou nutně nulová a zbydou čtyři:
a (délka kolmice), α (úhel mezi osami), d
(posun po ose kloubu) a θ (otočení kolem ní). U rotačního kloubu je proměnná θ,
u posuvného d.
Tahej jedním jezdcem a dívej se, co se v matici hne. θ a d patří ose z rámce {i−1}, a a α společné kolmici. Čtyři čísla, a přesto obecná poloha i orientace — protože rámce nejsou umístěné libovolně.
Tohle je ta část, kterou se vyplatí osahat. Táhni jedním jezdcem a dívej se,
co dělá rámec {i} a co se hne v matici. θ otáčí kolem staré osy z, d po ní posouvá, a teprve
pak jde a po společné kolmici a α kolem ní. Čtyři čísla v tomhle pořadí — a je z toho obecná
poloha i natočení.
A teď ta past
Konvence jsou dvě, obě se jmenují „DH parametry“ a dávají různé výsledky:
Tytéž čtyři osy, dvě umístění rámce. Vlevo standardní konvence: rámec {i} sedí na vzdáleném konci článku a jeho z leží na ose kloubu i+1. Vpravo Craigova modifikovaná: rámec {i} sedí na blízkém konci a jeho z leží na ose kloubu i. Táž tabulka čísel tedy popisuje dva různé roboty — a Jakobián se liší v tom, ze kterého rámce se čte osa kloubu.
[S] Ai = Rotz(θi) · Transz(di) ·
Transx(ai) · Rotx(αi)standardní
Tabulka DH parametrů bez uvedení konvence je nepoužitelná. Tatáž
čtyři čísla popisují dva různé roboty. Nástroj konvenci přepíná a hned je vidět, o kolik se
poloha nástroje liší — bývá to desítky centimetrů, ne zaokrouhlovací chyba.
Co DH neumí
Pro dvě rovnoběžné osy není společná kolmice jednoznačná, takže volba a a d
je libovolná a malá odchylka v reálném robotu ji divoce rozhodí. Proto se ke kalibraci používají
jiné parametrizace (Hayati) a proto Modern Robotics prosazuje součin
exponenciál — ten žádné mezirámce nepotřebuje a téhle degenerace se vyhne úplně.