1. Rámce a řetěz transformací
Kinematika odpovídá na dvě otázky, které vypadají symetricky a symetrické vůbec nejsou:
- Dopředná: znám úhly kloubů, kde je nástroj? Vždycky jedno řešení, vždycky snadné — je to jen součin matic.
- Inverzní: chci nástroj tady, jaké mají být úhly? Může mít nula, jedno, osm nebo nekonečně mnoho řešení, a u obecného ramene neexistuje uzavřený vzorec.
Ta asymetrie je celý předmět. Kapitoly 3–5 jsou o té snadné otázce, kapitoly 7–8 o té těžké.
Homogenní transformace
Rotaci a posuv se vyplatí nosit v jedné matici 4×4:
T = ⎡ R p ⎤
⎣ 0 1 ⎦ T−1 = ⎡ RT −RTp ⎤
⎣ 0 1 ⎦
⎣ 0 1 ⎦ T−1 = ⎡ RT −RTp ⎤
⎣ 0 1 ⎦
Inverze není obecná inverze matice 4×4 — je to transpozice rotace a otočený posuv. Rychlejší i přesnější, a nástroj to tak počítá.
Řetěz
0Tn = 0T1 · 1T2 · … ·
n−1Tn
Indexy se krátí přesně jako u samotných rotací (viz RotLab, kapitola 4). Když se nekrátí, je součin obráceně.
Matice rotace: sloupce jsou to podstatné
Než půjdeme dál, jedna věc, kterou se vyplatí mít v ruce a ne jen v hlavě. Matice rotace vypadá jako devět čísel bez ladu a skladu. Není. Každý sloupec je místo, kam se dostane jedna osa. První sloupec je nový směr x̂, druhý ŷ, třetí ẑ.
0.770-0.5740.2800.5390.8190.196-0.3420.0000.940
det R = 1.0000 — vždycky přesně 1, ať posuneš cokoliv. Sloupce zůstávají jednotkové a navzájem kolmé; to je celá podmínka SO(3).
Orientace je samostatná disciplína. Všechno o maticích rotace,
kvaternionech, Eulerových úhlech a gimbal locku je v RotLabu.
Tenhle nástroj to používá jako hotovou věc a soustředí se na řetěz.