5. Jakobián
Jakobián je matice, která převádí rychlosti kloubů na rychlost nástroje:
⎡ v ⎤
⎣ ω ⎦ = J(q) · q̇
⎣ ω ⎦ = J(q) · q̇
Je to nejužitečnější objekt v robotice, protože se z něj dá přečíst nesrovnatelně víc než rychlost:
- Rychlost nástroje z rychlostí kloubů — a obráceně, což je inverzní kinematika rychlostí.
- Statika: τ = JT F. Síla na nástroji dá momenty na kloubech transpozicí, ne inverzí. To je princip virtuálních prací a je to zadarmo.
- Singularity — kapitola 6.
- Šíření nejistoty, tuhost, návrh regulátoru.
Geometrická konstrukce
Sloupec pro kloub j se dá napsat rovnou z geometrie, bez derivování:
rotační: ⎡ zj × (pe − pj) ⎤
⎣ zj ⎦ posuvný: ⎡ zj ⎤
⎣ 0 ⎦Siciliano
⎣ zj ⎦ posuvný: ⎡ zj ⎤
⎣ 0 ⎦Siciliano
Rotační kloub žene špičku po kružnici kolem své osy — odtud vektorový součin. Posuvný ji posouvá po své ose a neotáčí vůbec.
Tady konvence uhodí podruhé. U standardní DH je osa kloubu i
osou z rámce {i−1}, u modifikované rámce {i}. Špatná volba dá Jakobián, který vypadá naprosto
věrohodně a je špatně. Proto je v testech porovnaný s numericky derivovanou dopřednou
kinematikou — ta o žádných osách kloubů neví, takže tu chybu nemůže sdílet.
Geometrický versus analytický
Výše popsaný geometrický Jakobián dává ω jako vektor úhlové rychlosti. Analytický Jakobián místo toho dává derivace zvolené trojice úhlů (třeba RPY). Nejsou to totéž a liší se maticí, která je v gimbal locku singulární — takže analytický Jakobián zdědí singularitu, kterou robot fyzicky nemá. Tenhle nástroj počítá geometrický a je to vědomá volba.