7. Inverzní kinematika analyticky
Dopředná kinematika má vždycky jedno řešení. Inverzní jich může mít nula, dvě, osm nebo nekonečně mnoho — a u obecného šestiosého ramene neexistuje uzavřený vzorec vůbec.
Rovinné 2R
Nejmenší poctivý příklad. Z kosinové věty:
c₂ = x² + y² − l₁² − l₂²2 l₁ l₂
θ₂ = ± arccos c₂
θ₁ = atan2(y, x) − atan2( l₂ sin θ₂ , l₁ + l₂ cos θ₂ )
To znaménko je celý příběh: ± znamená loket nahoru nebo dolů. Dvě různé polohy ramene pro tentýž bod. Nedosažitelné body se poznají hned — když |c₂| > 1, je cíl buď dál než l₁+l₂, nebo blíž než |l₁−l₂|.
Šestiosé rameno se sférickým zápěstím
Pieperovo kritérium: má-li rameno tři po sobě jdoucí osy protínající se v jednom bodě (sférické zápěstí), úloha se rozpadne na dvě:
- Poloha. Střed zápěstí je pw = pe − d₆·R·ẑ a závisí jen na prvních třech kloubech. To je úloha typu 3R — až 4 řešení (rameno vlevo/vpravo × loket nahoru/dolů).
- Orientace. Zbylá rotace se rozloží na poslední tři klouby jako Eulerovy úhly — 2 řešení (překlopení zápěstí).
Dohromady až osm řešení. Řídicí systém si musí vybrat, a to je skutečné rozhodnutí: obvykle nejbližší k současné poloze, aby se rameno nepřehodilo.
Proč se sférické zápěstí vyrábí. Není to náhoda ani estetika — je
to jediný způsob, jak dostat uzavřené řešení. Rameno bez něj (třeba některé kolaborativní)
uzavřenou IK nemá a musí se řešit numericky, se všemi důsledky z kapitoly 8.