8. Numerická IK a tlumení
Pro obecné rameno se IK řeší iterativně: spočítej chybu polohy, zeptej se Jakobiánu, jak ji zmenšit, udělej krok, opakuj.
Tři způsoby, jak udělat ten krok
| Metoda | Krok | Chování |
|---|---|---|
| Transpozice | Δq = α JT e | vždy stabilní, ale pomalá |
| Pseudoinverze | Δq = J+ e | rychlá, ale v singularitě exploduje |
| Tlumené nejmenší čtverce | Δq = JT(J JT + λ²I)−1 e | rychlá i tam, kde ostatní selžou |
Nástroj používá tlumené nejmenší čtverce (Levenberg–Marquardt; v robotice Nakamura a Wampler). Člen λ² na diagonále je celý trik: v singularitě je J JT neinvertovatelná a pseudoinverze žádá nekonečnou rychlost kloubu, kdežto λ² tu matici udrží invertovatelnou — zaplatí se za to kouskem přesnosti sledování.
Kolik tlumit
λ² = 0 když σmin ≥ ε
λ² = ( 1 − (σmin/ε)² ) λmax² jinakChiaverini, Nakamura
Tedy vůbec, dokud je rameno dobře podmíněné, a náběh až v okolí singularity.
Chyba, kterou jsem při psaní tohohle nástroje udělal a stojí za
zapamatování. První verze tlumila plynule všude — „jemnější“ a mnohem horší. Tlumí se tím
celý pracovní prostor, konvergence spadne z kvadratické na lineární, a u rovinného ramene, po
kterém se chce poloha ve třech rozměrech (σmin je přesně nula), vyšlo λ = 2 a rameno
se prakticky přestalo hýbat. Ze šedesáti testovacích poloh se jich vyřešilo čtyřicet. Po
přechodu na vzorec výše šedesát ze šedesáti. Tlumení je lék na konkrétní nemoc, ne
posilující nápoj.
Dvě věci navíc, bez kterých to není spolehlivé
- Omezení kroku. Lineární model platí lokálně; bez stropu na |Δq| umí jeden krok přehodit rameno přes celý pracovní prostor.
- Půlení kroku. Zhoršila se chyba? Zkus poloviční krok, až osmkrát. Levné a je to rozdíl mezi „obvykle konverguje“ a „konverguje“.
Chyba orientace se nepočítá odečtením úhlů
Rotační část chyby je osa a úhel rotace RteďTRcíl, ne rozdíl Eulerových úhlů. Ten by u přetečení dal nesmysl — viz RotLab, kapitola 9.