Rameno jako soustava těles
Než se dá cokoliv spočítat, musí být rameno popsané čísly. Kinematika si vystačila se čtyřmi čísly na článek — DH parametry, které říkají, kde který kloub je. Dynamika potřebuje ještě deset dalších na každý článek, protože ji nezajímá jen tvar, ale i hmota.
| Co | Kolik čísel | Co to znamená |
|---|---|---|
hmotnost m | 1 | kolik toho článek váží, i s tím, co je na něm přišroubované |
těžiště r | 3 | kde ta hmota je, měřeno v rámci článku — proto je to konstanta |
tenzor setrvačnosti I | 6 | jak je hmota rozprostřená kolem těžiště; symetrická matice 3×3 |
Klíčové slovo je v rámci článku. Kdyby se těžiště zadávalo ve světě, měnilo by se s každým pohybem a nešlo by to zapsat. V rámci, který se s článkem hýbe, jsou všechna tahle čísla konstanty — a přesně proto celá dynamika ramene počítá v rámcích článků a ne ve světě.
Tenzor setrvačnosti není jedno číslo
U rovinné úlohy stačí jedno číslo, moment setrvačnosti kolem osy otáčení. V prostoru ne: těleso se může točit kolem libovolné osy a kolem každé má jinou setrvačnost. Tenzor je předpis, který z osy udělá číslo:
Mimodiagonální prvky (I a spol.) říkají, jak moc je těleso
„zkroucené" vůči svým osám. U symetrického článku jsou nulové; u odlitku s vyloženým motorem na
boku ne, a pak se těleso při roztočení snaží vybočit stranou. Tomu se říká gyroskopický moment
a v rovnicích to je člen ω × (I ω).
Steinerova věta, a proč se na ni pořád zapomíná
Setrvačnost se udává kolem těžiště. Kloub ale skoro nikdy v těžišti neleží, a přenést setrvačnost jinam není zadarmo:
To m·d² bývá větší než I samotné. U tyče
délky l otáčené kolem konce je I, ale
m·d² = ml²/4 — trojnásobek. Kdo Steinera vynechá, podhodnotí setrvačnost čtyřikrát.
Břemeno je jenom další těleso
Když rameno něco nese, není to nový článek — sedí to napevno na posledním. Dva slepené tuhé objekty jsou zase jeden tuhý objekt a slučují se pravidlem, které je jen Steiner použitý dvakrát:
Solver to dělá automaticky hned na začátku, aby si na břemeno nemusela pamatovat žádná další část výpočtu. Je to zároveň jediné místo, kde se hmota z ničeho nic objeví.
Odkud ta čísla vzít. Z CADu — každý slušný modelář vypíše hmotnost, těžiště i tenzor setrvačnosti jedním příkazem. Je to zároveň nejslabší článek celého výpočtu: model se od skutečnosti liší o kabely, šrouby, převodovku a o to, že hliník má hustotu, jakou jste nastavili. Deset procent chyby v hmotnosti je běžné a projeví se ve výsledku jedna ku jedné. Proto se skutečné parametry na hotovém rameni identifikují měřením — víc o tom třináctá kapitola.