Lagrangeova cesta: přes energii

Tohle je statická kopie kapitoly pro vyhledávače. Interaktivní verze má animované obrázky, kontrolní otázky a tlačítka, která příklad načtou do kalkulačky.

Newton-Euler jde po silách. Lagrange jde po energii, a to je zásadní rozdíl v pohodlí: energie je skalár. Nemá směr, takže nepotřebuje rámce, rotační matice ani vektorové součiny. Sečteš, co má rameno v sobě, a zbytek je derivování.

Potřebuješ dvě funkce. Kinetickou energii — pro každý článek posuvná část a rotační část, podle Königovy věty:

T = Σ ½·mi·vci² + ½·ωiT·Ici·ωiKönig: pohyb těžiště plus otáčení kolem něj

a potenciální, což je jen výška těžišť:

U = −Σ mi·gT·rciznaménko: U roste, když jde těžiště proti gravitaci

Jejich rozdíl je Lagrangeova funkce L = T − U a rovnice pohybu vypadnou z jednoho předpisu, který platí pro každou souřadnici zvlášť:

d/dt (∂L/∂q̇k) − ∂L/∂qk = τkEuler-Lagrangeova rovnice

Proč z toho vyjde totéž

Protože obojí je táž fyzika, jen jinak zapsaná. Newton-Euler počítá i síly ve vazbách, které pak zase odečte; Lagrange se jimi vůbec nezabývá, protože vazbové síly nekonají práci a v energii se neobjeví. Newton je rychlejší na počítání, Lagrange je čitelnější na přemýšlení. Kdo chce vědět kolik, počítá Newtonem. Kdo chce vědět proč, dívá se na energii.

Tady se to dá vidět naživo. Solver má obojí a testy porovnávají jejich výsledek na náhodných stavech. Ta lagrangeovská cesta v testech je navíc napsaná úplně samostatně — vlastní kinematika z elementárních rotací, vlastní energie, a derivace numericky. Ze solveru nepoužije ani řádek. Když se obě cesty shodnou na osm platných číslic, je to skutečné ověření, ne kontrola sama sebe.

Kinetická energie prozradí matici setrvačnosti

Zapiš T a všimni si, že v rychlostech je vždycky kvadratická — každý člen obsahuje součin dvou kloubových rychlostí a nic jiného. Každá kvadratická forma se dá zapsat maticí, a tahle konkrétní matice je přesně to, co se v příští kapitole objeví jako M(q):

T = ½ · q̇T · M(q) · q̇a odtud plyne, že M musí být symetrická

Z téhle jediné rovnice se dají odečíst dvě vlastnosti, které pak platí v celé dynamice. Symetrie: v kvadratické formě se stejně podílejí q̇ᵢq̇ⱼ i q̇ⱼq̇ᵢ. A pozitivní definitnost: kinetická energie nemůže být záporná a je nulová jen při naprostém klidu, takže M je vždycky invertovatelná — což je právě to, co dovolí v jedenácté kapitole rovnici obrátit a simulovat.

Nezaměňuj T = ½q̇ᵀMq̇ za návod, jak T počítat. Když M ještě nemáš, je to kruh. Kinetická energie se počítá z rychlostí těžišť — a M se z ní teprve vyčte.