Matice setrvačnosti M(q)

U jednoho tělesa na jedné ose je setrvačnost jedno číslo a nemění se. U ramene je to matice a mění se s každým pohybem. Ten rozdíl je podstatný a stojí za to na něj chvíli koukat.

Úhlopříčka: co kloub cítí sám za sebe

Prvek mii je efektivní setrvačnost kloubu i: kdyby se hýbal jenom on, byl by moment mii·q̈i. Je to Steinerova věta použitá na všechno, co je od toho kloubu dál — a proto se s konfigurací mění tak dramaticky. Natažené rameno má hmotu daleko od osy, složené blízko, a vzdálenost jde do druhé mocniny.

Mimo úhlopříčku: rameno je propojené

Prvek mij říká, jaký moment vznikne v kloubu i, když zrychlí kloub j. Není to chyba ani nedokonalost konstrukce, je to nutnost: klouby sedí na společném řetězci a hýbat jedním beze změny toho, co cítí druhý, prostě nejde.

Pro regulaci je to nepříjemné, protože každá osa má vlastní regulátor, který o ostatních neví, a vazba se mu jeví jako porucha. Existují dvě obrany a obě se používají:

• Spočítat ji a odečíst. Tomu se říká výpočet inverzní dynamiky v reálném čase a je to přesně to, na co je Newton-Eulerova rekurze tak rychlá.
• Utopit ji v převodu. Reflektovaná setrvačnost rotoru přibude jen na úhlopříčku, takže s rostoucím převodem klesá poměr mimodiagonálních členů k diagonálním. Desátá kapitola to ukazuje na číslech.

Dvě vlastnosti, které platí vždycky

Symetrie mij = mji plyne z toho, že M je matice kvadratické formy kinetické energie. Fyzikálně to znamená pěknou věc: vazba je vzájemná a stejně silná oběma směry.

Pozitivní definitnost znamená, že q̇ᵀMq̇ > 0 pro každý nenulový pohyb — kinetická energie nemůže být záporná. Důsledek: M je vždycky invertovatelná a dopředná dynamika má vždycky řešení. Pokud vám vyjde singulární matice, není to fyzika, je to nedopsaný model — typicky článek s nulovou hmotností nebo nulovou setrvačností.