Odstředivé a Coriolisovy členy

Prostřední člen rovnice je ten, kterému lidé nejmíň věří, protože v něm nevystupuje ani zrychlení, ani gravitace — a přesto tam moment je. Rameno, které se otáčí naprosto rovnoměrně, tedy s nulovým q̈, potřebuje v ostatních kloubech nenulový moment. To není chyba, to je celá podstata pohybu v otáčející se soustavě.

Členy jsou dvojího druhu a rozeznají se podle indexů:

Coriolisův člen je zajímavější, protože zmizí, jakmile se hýbe jen jeden kloub. To je zrada pro zkoušení: rameno se otestuje po jedné ose, všechno vychází, a pak se pustí složený pohyb a moment je jinde, než čekal.

Nejmenší stroj, na kterém to jde vidět

Kinetická energie korálku je T = ½m(ṙ² + r²θ̇²). Z Lagrangeovy rovnice vyjdou dvě rovnice a v každé je jeden z těch členů:

Ten první má překvapivě jasný fyzikální smysl: moment hybnosti m·r²·θ̇ se sám od sebe nemění, takže když r roste, musí θ̇ klesat. Aby otáčení nekleslo, musí pohon dodat moment — a to je přesně ten Coriolisův člen. Je to piruetový efekt, jen zapsaný rovnicí.

Christoffelovy symboly a proč není C jednoznačná

Vektor c(q,q̇) se dá zapsat jako matice krát rychlost, c = C·q̇. Jenže takových matic je nekonečně mnoho — rychlost se dá vytknout mnoha způsoby. Jedna z nich je ale lepší než ostatní a dostane se z derivací matice setrvačnosti:

Rychlostní členy tedy nejsou nic nového — celé jsou schované v tom, jak se M(q) mění s polohou. Kdyby byla matice setrvačnosti konstantní, nebyly by žádné odstředivé ani Coriolisovy členy. To je asi nejužitečnější věta v téhle kapitole.

Šikmá symetrie, a proč na ní záleží

Právě s touhle volbou C platí, že matice Ṁ − 2C je šikmo symetrická. Formálně to znamená xᵀ(Ṁ − 2C)x = 0 pro každé x; fyzikálně to znamená, že rychlostní členy energii přeskupují, ale nikdy ji nevytvářejí ani neubírají. Přesně proto se odstředivé síly nedají použít jako zdroj energie, i když vypadají, že něco tahají.