Vzorkovací věta: měření, které lže věrohodně
Digitalizace je pravidelné odečítání hodnot. Otázka, kterou zodpověděli Nyquist a Shannon, zní: kdy se z těch vzorků dá původní signál obnovit beze ztráty?
Vzorkovat je nutné víc než dvakrát rychleji, než je nejvyšší frekvence v signálu. Ne dvakrát — víc než dvakrát; přesně dvakrát je hraniční případ, kde se dá trefit do samých nul.
Co se stane, když se to poruší
Signál nezmizí ani nevypadá pokaženě. Objeví se na jiné, zcela věrohodné frekvenci. Tón 380 Hz vzorkovaný na 512 Hz se v naměřeném spektru ukáže jako 132 Hz — jako poctivý, čistý tón, který tam nikdy nebyl. Nic v datech nenaznačí, že je něco špatně.
A teď ta krutá část, kterou testy v repu měří přímo:
Tón 380 Hz a tón 132 Hz dají při fs = 512 Hz totožné vzorky. Naměřený rozdíl: 8,2·10⁻¹⁴, tedy nula. Nejsou „těžko rozlišitelné“ — jsou to stejná čísla. Žádný algoritmus, žádné chytřejší zpracování, žádné delší měření je od sebe neoddělí, protože oddělovat není co.
Jediná obrana
Protože je aliasing nevratný, musí se mu zabránit před převodníkem — analogovým dolnopropustným filtrem. Tomu se říká antialiasingový filtr a není to volitelné vylepšení; je to jediné místo, kde se s tím dá ještě něco dělat.
| obor | fs | proč zrovna tolik |
|---|---|---|
| telefon | 8 kHz | řeč je srozumitelná do 3,4 kHz |
| CD | 44,1 kHz | sluch končí kolem 20 kHz, plus rezerva na filtr |
| regulace | 10–20× šířka pásma | víc, než teorie žádá — kvůli fázovému zpoždění (ControlLab) |
| vibrodiagnostika | 2,56× nejvyšší sledovaná | ten faktor 2,56 je rezerva na filtr, ne teorie |
Táž věc podruhé, z jiné strany
ComplexLab k tomu došel jinou cestou. Mapa z = e^(sT) je v imaginárním směru periodická s periodou 2π/T — takže frekvence ω a ω + 2π/T se zobrazí do téhož bodu. To je aliasing odvozený z geometrie komplexní roviny místo ze vzorkování. Dvě labky, dvě odvození, jeden jev; ověřeno v obou (tady 8·10⁻¹⁴, tam 1,3·10⁻¹³).