FIR filtr: ideál se musí useknout
Ideální dolní propust má ve frekvenci obdélník: do mezní frekvence propustí všechno beze změny, nad ní nic. Zbývá zjistit, jaká impulsní odezva takové spektrum má — a to je zpětná transformace obdélníku:
Jenže ten sinc je nekonečně dlouhý a začíná před nulou. Dvě věci naráz, obě zabíjející: nekonečně mnoho koeficientů se nespočítá, a odezva před příchodem impulsu znamená, že filtr musí znát budoucnost. Ideální filtr tedy neexistuje — ne že by byl drahý, on je nekauzální.
Reálný filtr je useknutý sinc. A jak se usekne, tím se rozhoduje o všem ostatním.
Co se čím platí
| chci | zaplatím | naměřeno |
|---|---|---|
| ostřejší přechod | víc koeficientů | 21 → 125 Hz, 161 → 15,6 Hz (8× víc koef., 8× užší) |
| hlubší útlum | širší přechod | Hann −68 dB, Blackman −80 dB při týchž 51 koeficientech |
| menší zpoždění | míň koeficientů, horší filtr | zpoždění = (N−1)/2 vzorků |
Přechod se zužuje nepřímo úměrně počtu koeficientů — osmkrát víc koeficientů dá osmkrát užší přechod, ne šestnáctkrát. To je tvrdá mez a žádný chytřejší návrh ji neobejde; posunout se dá jen konstanta.
Lineární fáze: to, proč se FIR používá
Symetrická impulsní odezva zpozdí všechny frekvence stejně. To znamená, že tvar signálu zůstane zachovaný — jen přijde později. Filtr, který tuhle vlastnost nemá, deformuje průběh, i když amplitudy nechá na pokoji: hrany se rozmažou a impulsy roztečou. Pro zvuk, obraz i měřicí řetězec je to zásadní, a je to hlavní důvod, proč se FIR volí i tam, kde by IIR filtr stačil s desetinou koeficientů.
Testy v repu ověřují symetrii na 1e-15 a měří jednotkový stejnosměrný přenos přesně na 1 — filtr, který má propustit konstantu, ji nesmí zeslabit.
A na skutečném signálu. Dva tóny, 50 Hz a 300 Hz, dolní propust se 101 koeficienty a mezí 100 Hz: padesátka projde beze změny, tři sta klesne na 0,00 % původní amplitudy. Měřeno spektrem vstupu a výstupu, ne odhadem.