Úzko v čase = široko ve frekvenci
Napříč celou labkou se objevuje jeden vzorec. Krátký impuls má široké spektrum. Dlouhý záznam má jemné rozlišení. Okno, které je hladké v čase, má hluboké boky ve frekvenci. Filtr s ostrým zlomem má dlouhou impulsní odezvu.
Není to náhoda ani čtyři různá pravidla. Je to jedno pravidlo:
Signál nemůže být současně krátký v čase a úzký ve frekvenci. Součin obou šířek má dolní mez. Ne kvůli přístrojům nebo výpočtu — plyne to přímo z toho, co transformace je. Krátký úsek prostě neobsahuje dost period na to, aby se frekvence dala určit přesně.
| v čase | ve frekvenci |
|---|---|
| Diracův impuls (nekonečně krátký) | všechny frekvence stejně (plochá) |
| konstanta (nekonečně dlouhá) | jediná čára v nule |
| obdélníkový puls | sinc — nikdy nekončí |
| sinc | obdélník — ostře uřízne |
| Gaussovka | zase Gaussovka — jediný tvar, který se nemění |
Poslední řádek je pozoruhodný a v StatLabu se objeví znovu z úplně jiného důvodu: Gaussova křivka je vlastní funkcí Fourierovy transformace a dosahuje té dolní meze jako jediná. Je to nejlepší možný kompromis mezi „krátké“ a „úzké“, jaký existuje.
Kde to člověka potká
| úloha | projev téhož pravidla |
|---|---|
| spektrum krátkého záznamu | hrubé rozlišení — Δf = 1/T, kap. 4 |
| okno s hlubokými boky | širší vrchol — kap. 5 |
| filtr s ostrým zlomem | dlouhá odezva a velké zpoždění — kap. 8 |
| krátký radarový puls | široké pásmo, tedy širokopásmová anténa |
| spektrogram | buď „kdy“, nebo „jaká frekvence“ — obojí ostře nejde |
Praktický dopad na spektrogram. Když se sleduje, jak se frekvence mění v čase (rozjezd motoru, řeč, průchod rezonancí), musí se záznam nakrájet na kousky a každý transformovat zvlášť. Krátké kousky → dobře se ví kdy, špatně co. Dlouhé kousky → naopak. Neexistuje nastavení, které dá obojí, a hledat ho je ztráta času; volí se podle toho, co se zrovna hledá.
Ano, je to táž nerovnost jako v kvantové fyzice. Heisenbergův princip neurčitosti je Δx·Δp ≥ ħ/2, a je to tentýž matematický fakt o dvojici veličin spojených Fourierovou transformací — v tom případě o poloze a hybnosti. Fyzika k tomu přidá ħ; matematika je stejná.