Transformace: násob a sečti
Fourierova řada platí pro periodické signály. Reálná měření periodická nejsou — a přesto se o nich chce vědět, jaké frekvence obsahují. Přechod k transformaci je jen zobecnění, ale mechanismus je stejný a je pozoruhodně prostý.
- x(t) a sin(2π·8·t)
Chceme vědět, kolik je v signálu té jedné frekvence. Nasadíme na něj zkušební sinusovku.
- x(t) · sin(2πft)
Bod po bodu. Když se ty dvě shodují, součin je většinou kladný. Když se neshodují, střídá znaménko.
- Σ x(t)·sin = 0,0000
Součet je velký, jen když se ty dvě trefily. Jinak se kladné a záporné příspěvky vyruší — a to je celý mechanismus.
- X(f) = Σ x(t)·e^(−i2πft)
Sinus i kosinus naráz — protože fázi neznáme a e^(−iωt) je obojí v jednom komplexním čísle. To je celý ComplexLab, kapitola 4.
- X(f) = velikost a fáze té frekvence v signálu
Velikost říká „kolik toho tam je“, argument „v jaké fázi“. Transformace není nic záhadného — je to skalární součin signálu se sinusovkou, provedený pro každou frekvenci zvlášť.
Je to skalární součin. Vynásobit signál sinusovkou a sečíst je přesně to, co dělá skalární součin ve VectorLabu — jen se sčítá přes vzorky místo přes složky. Transformace tedy měří, jak moc je signál rovnoběžný s každou sinusovkou. Když je kolmý, vyjde nula.
Proč komplexní exponenciála a ne sinus
Kdyby se zkoušel jen sinus, signál posunutý o čtvrt periody by vyšel jako nula — přestože tu frekvenci obsahuje. Bylo by tedy nutné zkoušet zvlášť sinus a zvlášť kosinus a výsledky pak skládat. e^(−iωt) je obojí naráz, uložené do jednoho komplexního čísla:
| část výsledku | co znamená | |
|---|---|---|
| |X(f)| | kolik té frekvence v signálu je | |
| arg X(f) | v jaké fázi |
To je přesně důvod, proč ComplexLab existuje a proč se má číst první.
Ortogonalita dělá tu práci
Mechanismus stojí a padá s tím, že se nesprávné frekvence vyruší. Vynásobí-li se signál sinusovkou, kterou neobsahuje, součin střídá znaménko a součet vyjde nula. Vynásobí-li se tou, kterou obsahuje, součin je většinou téhož znaménka a součet je velký.
Kdy se to vyruší jen skoro. „Vyjde nula“ platí přesně jen tehdy, když se do okna vejde celý počet period. Když ne, zbude zbytek — a to je prosakování z kapitoly 6, jedna z nejčastějších příčin, proč naměřené spektrum vypadá jinak, než čtenář čekal. Testy v repu to měří: tón přesně na koši dá ve všech ostatních koších 1,6·10⁻¹⁵ (tedy nulu), tón o půl koše vedle dá až 0,083.