Koeficienty: jak rychle to konverguje a proč
Kapitola 1 ukázala, že to jde. Zbývá spočítat, s jakými amplitudami — a odpověď je pozoruhodně jednoduchá, protože sinusovky různých frekvencí jsou navzájem ortogonální.
Proč to funguje: integrál součinu dvou různých harmonických je nula. ∫ sin(mωt)·sin(nωt) dt = 0 pro m ≠ n, a nenulový jen pro m = n. Vynásobit signál sinusovkou a zintegrovat proto vyzobne právě tu jednu složku a všechny ostatní se vyruší. Je to přesně skalární součin z VectorLabu, jen se sčítá spojitě místo po složkách — a „kolmé“ znamená totéž.
Rychlost poklesu rozhoduje o všem
| průběh | harmonické | klesají jako | Gibbs |
|---|---|---|---|
| obdélník | jen liché | 1/n | ano — má skok |
| pila | všechny | 1/n | ano — má skok |
| trojúhelník | jen liché | 1/n² | ne — je spojitý |
| úzký impuls | všechny | obálka sinc | — |
Pravidlo, které se vyplatí znát nazpaměť: čím hladší funkce, tím rychleji klesají její harmonické. Skok dá 1/n, zlom (spojitá funkce s nespojitou derivací) dá 1/n², a funkce hladká donekonečna má harmonické klesající rychleji než jakákoli mocnina.
Naměřeno: u obdélníku je třetí harmonická 3× menší než první, u trojúhelníku 9×. Proto je trojúhelník z devíti harmonických už k nerozeznání od ideálu, kdežto obdélník ne.
Praktický dopad na měření. Když se digitalizuje signál s ostrými hranami — PWM z BridgeLabu, spínaný zdroj, obdélník z enkodéru — jeho spektrum se nikdy nekončí. Harmonické klesají jen jako 1/n, takže i na desetinásobku základní frekvence je ještě desetina amplitudy. Vzorkovat takový signál bez antialiasingového filtru znamená, že se všechny ty vysoké harmonické složí zpátky dolů a zamoří výsledek — viz kapitola 11.