Všechno je součet sinusovek
Fourierovo tvrzení z roku 1807 znělo tak nepravděpodobně, že mu ho komise (Lagrange, Laplace, Legendre) odmítla vydat: libovolný periodický průběh se dá napsat jako součet sinusovek. Včetně těch, které mají ostré hrany — přestože žádná sinusovka hranu nemá.
- (4/π)·sin(t)
Cíl je obdélník — přerušovaně. Zatím máme jednu sinusovku a nepodobá se mu ani trochu.
- (4/π)·sin(t) + (4/3π)·sin(3t)
Trojnásobná frekvence, třetinová amplituda. Vršek se začne srovnávat — přesně tam, kde má obdélník být plochý.
- … + (4/5π)·sin(5t)
Jenom liché harmonické, amplituda vždycky 4/(πn). Sudé by porušily symetrii — obdélník je lichá funkce.
- Σ přes 9 harmonických
Posuň jezdec. Čím víc členů, tím ostřejší hrana — a ta se skládá výhradně ze sinusovek, přestože žádná z nich hranu nemá.
- překmit ≈ 9 % skoku, VŽDYCKY
U skoku vždycky vyskočí asi 9 % výšky skoku, a přidávání harmonických to nezmenší — jen zúží. Naměřeno: 9,21 % při 7 harmonických, 8,95 % při 511. Je to Gibbsův jev a je to věta, ne nedostatek.
Není to aproximace v běžném smyslu. Součet konverguje k původní funkci všude, kde je spojitá, a v bodě skoku k průměru obou stran. Ta hrana se skutečně skládá jenom ze sinusovek.
Proč zrovna sinusovky
Odpověď není estetická, je praktická a stojí za vyslovení, protože je to důvod, proč se celý obor točí kolem nich:
Sinusovka je jediný průběh, který projde lineární soustavou a zůstane sám sebou. Pošli sinus do filtru, do kabelu, do mechanické konstrukce — vyjde sinus téže frekvence, jen s jinou amplitudou a fází. Nic jiného tuhle vlastnost nemá: obdélník vyjde zdeformovaný, impuls rozmazaný. Sinusovky jsou pro lineární soustavy tím, čím jsou vlastní vektory pro matice — a to není metafora, je to doslova totéž tvrzení (viz MatrixLab, kapitola o vlastních číslech).
Odtud plyne celý postup, kterým se řeší jakákoli lineární úloha se signálem:
- Rozlož vstup na sinusovky (Fourier).
- Pro každou zvlášť zjisti, co s ní soustava udělá — a to je jedno komplexní číslo, fázor z ComplexLabu.
- Sečti výsledky zpátky.
Krok 2 je algebra místo diferenciálních rovnic. To je celá výhoda a je to důvod, proč se Fourier učí.
Gibbsův jev: překmit, který nezmizí
Přidávání harmonických hranu zostřuje — ale těsně u skoku průběh vždycky přestřelí asi o 9 % výšky skoku, a ten překmit se přidáváním členů nezmenší. Jenom se zúží.
| harmonických | překmit ze skoku |
|---|---|
| 7 | 9,21 % |
| 31 | 8,97 % |
| 127 | 8,95 % |
| 511 | 8,95 % |
Konverguje to k 8,95 % (Wilbraham-Gibbsova konstanta), ne k nule. Naměřeno v repu.
Pozor, čeho 9 %. Je to 9 % výšky skoku, ne amplitudy. Obdélník kmitající mezi −1 a +1 má skok 2, takže překmit je 0,179 nad hodnotou 1 — což je 17,9 % amplitudy a 8,95 % skoku. Testy v téhle labce si na tom rozdílu samy naběhly a hlásily 17,9 % jako chybu, dokud se nepojmenovalo, vůči čemu se to měří. Většina zdrojů, které „9 %“ citují, to neupřesní.
Prakticky: každý filtr s ostrým zlomem má na skoku zákmit. Není to vada návrhu, je to Gibbs — a jediná obrana je zlom neudělat ostrý (kapitola 10).