5. Polynomy a okrajové podmínky
Úplně jiný přístup: místo skládání úseků napiš jednu hladkou funkci a nech si od ní splnit okrajové podmínky. Kolik podmínek, tolik koeficientů.
Kubický: poloha a rychlost na obou koncích
Čtyři podmínky, čtyři koeficienty. Pro pohyb z klidu do klidu vyjde s τ = t/T:
q(t) = q₀ + Δq · ( 3τ² − 2τ³ )
vvrchol = 1,5 ΔqT
avrchol = 6 ΔqT²
Zrádnost kubického polynomu: zrychlení na začátku a na konci není nulové. Skočí. Je hladší než lichoběžník, ale ryv na koncích je pořád nekonečný.
Kvintický: navíc i zrychlení
Šest podmínek, šest koeficientů. Zrychlení na obou koncích se dá předepsat — a když je nula, ryv je konečný všude:
q(t) = q₀ + Δq · ( 10τ³ − 15τ⁴ + 6τ⁵ )
vvrchol = 1,875 ΔqT
avrchol = 10√3 ΔqT² ≈ 5,77 ΔqT²
Kubický: v 2.50 = 1,5·Δq/T · a 3.33 = 6·Δq/T²
Kvintický: v 3.13 = 1,875·Δq/T · a 3.21 = (10/√3)·Δq/T²
Kvintický jede uprostřed rychleji a přesto potřebuje menší špičkové zrychlení. Rozprostře ho po delší části pohybu, místo aby ho nacpal na začátek — a navíc má na koncích nulové zrychlení, takže konečný ryv. Ty poměry se s T ani Δq nemění; jsou to vlastnosti tvaru.
Kvintický: v 3.13 = 1,875·Δq/T · a 3.21 = (10/√3)·Δq/T²
Kvintický jede uprostřed rychleji a přesto potřebuje menší špičkové zrychlení. Rozprostře ho po delší části pohybu, místo aby ho nacpal na začátek — a navíc má na koncích nulové zrychlení, takže konečný ryv. Ty poměry se s T ani Δq nemění; jsou to vlastnosti tvaru.
Zásadní omezení polynomů. Polynom se zadává časem, ne
limity. Nedokáže říct „jeď co nejrychleji, ale nepřekroč v_max" — musíš mu čas dát a pak
zkontrolovat, jestli se do limitů vešel. Vzorce výše to umožňují obrátit: z limitů spočítat
nejkratší přípustný čas. Proto je polynom vždycky pomalejší než S-křivka pro
tytéž limity, a v testech je to změřené.