8. Tělesa, která se otáčejí: tenzor setrvačnosti a Eulerovy rovnice
Hmotný bod potřebuje jen sílu. Skutečné těleso má rozměr, a těleso, kterému se mění natočení, potřebuje i moment — i kdyby jeho těžiště nezrychlovalo vůbec. Rotor točící se na místě je ten čistý případ.
Dvě části a chovají se úplně jinak:
- I α — ta očividná. Zrychli otáčení, zaplať za to. Lineární v α a nulová při konstantních otáčkách.
- ω × (I ω) — gyroskopický člen. Kvadratický v rychlosti, nenulový i při naprosto stálých otáčkách a kolmý na všechno, co bys čekal. Tohle dělá roztočené kolo těžko ovladatelným.
Gyroskopický moment v jediném tvaru, který stojí za zapamatování
Roztoč rotor na ωs kolem jeho vlastní osy a tou osou švihni rychlostí ωp. Potřebná dvojice sil je
— a je pozoruhodné, že se příčný moment setrvačnosti úplně vykrátí. Testy nástroje to ověřují na rotoru 6 kg o průměru 180 mm při 18 000 °/s švihnutém 120 °/s: 18,2 N·m, které ložisko rotoru nese jako čistý ohyb, s nulovým momentem kolem osy otáčení. Servomotor s těžkým rotorem na rychle se otáčejícím rameni je přesně tahle úloha.
Tenzor a odkud se čísla berou
I je symetrický tenzor 3×3, ne číslo, protože odpor tělesa proti otáčení závisí na tom, kolem čeho ho otáčíš. Kalkulačka ho staví ze základních tvarů, všechny jsou učebnicové:
- tenká tyč, ke kolmé ose: mL²/12
- plný válec: mr²/2 kolem vlastní osy, m(3r² + L²)/12 napříč
- trubka: m(ro² + ri²)/2 kolem osy — tak se ramena opravdu dělají
- kvádr: m(b² + c²)/12 kolem směru hrany a
- plná koule: 2mr²/5, kolem všeho stejně
Nebo hlavní momenty vložíš rovnou z výpisu hmotových vlastností v CADu, což je u čehokoliv skutečného to, co bys dělat měl.
Přesun vztažného bodu
Moment setrvačnosti je vždycky vztažený k něčemu. Přesun z těžiště do bodu vzdáleného o R:
Zúžením na jednotkovou osu z toho spadne verze, kterou zná každý, J = JC + m d⊥² — a proto je tyč ke konci mL²/3 a ne mL²/12. Kalkulačka tohle číslo vypisuje pro každý kloub: celkový moment setrvačnosti všeho za ním, k ose toho kloubu. To je hodnota, podle které se vybírá převodovka a motor, takže jde rovnou do GearLabu.