Šíření nejistoty: kvadraticky, a kdy to nestačí
Změří se pár veličin, každá se svou nejistotou, a z nich se něco spočítá. Otázka je jediná: jak nejistý je výsledek?
- x = 4 ± 0,10 y = 2,5 ± 0,05
Změřené hodnoty, obě se svou nejistotou. Chceme jejich součin — a hlavně jeho nejistotu.
- ∂z/∂x = y, ∂z/∂y = x
Parciální derivace z DerivLabu. Říkají, o kolik se pohne z, když se pohne x — a to je celý převodní poměr.
- (∂z/∂x · σₓ)² = 0,0625 (∂z/∂y · σᵧ)² = 0,0400
Nejistota vstupu se vynásobí citlivostí a umocní. To umocnění je klíč: rozptyly se sčítají, směrodatné odchylky ne.
- σ_z = 0,3202
Kvadratické sčítání. Není to součet — 0,3 a 0,4 dá 0,5, ne 0,7. Menší chyba se v součtu skoro ztratí, což je důvod, proč se vyplatí zlepšovat vždycky tu největší.
- u cos(x) v maximu: lineární odhad řekne σ = 0
Celý postup předpokládá, že je funkce v okolí ±σ skoro přímka. V maximu je derivace nula, takže vzorec předpoví nulovou nejistotu — a skutečná je 0,105. Není to přibližně správně, je to špatně.
Kvadraticky, ne prostě
Nejistoty 0,3 a 0,4 dají dohromady 0,5, ne 0,7. Skládají se jako odvěsny pravoúhlého trojúhelníku, protože se sčítají rozptyly (kapitola 2), ne směrodatné odchylky. Důsledek, který se vyplatí mít v hlavě: menší nejistota se skoro ztratí. Když je jedna složka třikrát menší než druhá, přidá k výsledku pouhých 5 %.
Odtud plyne, kam investovat: vždycky do největší složky. Zlepšit nejlepší článek řetězu je vyhozený čas.
| vzorec | relativní nejistoty |
|---|---|
| z = x + y | absolutní chyby kvadraticky |
| z = x · y nebo x / y | relativní chyby kvadraticky |
| z = xⁿ | relativní chyba × |n| |
| z = ln x | absolutní chyba z = relativní chyba x |
Odčítání: past, kterou už DerivLab ukázal jinak
Odečti 10 ± 0,3 a 9,5 ± 0,3. Absolutní nejistota vyjde 0,42 — nic hrozného. Jenže výsledek je 0,5, takže relativní nejistota vyskočila z 3 % na 85 %. Naměřeno v repu.
Je to totéž katastrofické krácení, které DerivLab potkal u numerické derivace, jen popsané statisticky místo strojovou přesností. Pravidlo je stejné: odečítat blízká čísla se vyhýbej, a když to nejde, spočítej relativní nejistotu dřív, než výsledku uvěříš.
Kdy lineární vzorec selže
Celý zákon předpokládá, že se funkce v okolí ±σ chová jako přímka. Když se zakřiví, neplatí — a nejde o malou nepřesnost:
| funkce | lineárně | Monte Carlo | rozdíl |
|---|---|---|---|
| z = x + y | 0,50000 | 0,49922 | 0,2 % |
| z = x · y | 0,32016 | 0,31978 | 0,1 % |
| z = x³ | 1,80000 | 1,81640 | 0,9 % |
| z = cos(x) v maximu | 0,00000 | 0,10436 | 100 % |
Poslední řádek stojí za pozornost. V maximu je derivace nula, takže lineární odhad předpoví nulovou nejistotu. Skutečná je 0,104. To není „přibližně správně“ — je to úplně vedle, a vzorec o tom nedá vědět.
A ještě druhá, méně známá věc: u zakřivené funkce se posune i střední hodnota. Průměr z cos(x) při x = 0 ± 0,4 vyjde 0,923, ne cos(0) = 1. Zakřivení systematicky ubírá, protože křivka klesá na obě strany.
Obrana: když si nejsi jistý, spočítej to Monte Carlem. Dvacet tisíc náhodných dosazení je otázka milisekund a odpovídá na otázku, na kterou vzorec odpovědět neumí.