Kovariance: nejistota má tvar
U dvou veličin nestačí dvě σ. Chybí informace, jestli spolu souvisejí — a ta rozhoduje o všem dalším.
Na diagonále rozptyly, mimo ni kovariance. Ta poslední se čte snáz jako korelace, tedy kovariance dělená oběma σ, která leží mezi −1 a +1.
Elipsa je vlastní rozklad
Osy elipsy jsou vlastní vektory kovarianční matice, poloosy odmocniny z vlastních čísel. To není analogie ani volba zobrazení — je to přímý důsledek toho, co kovarianční matice je. MatrixLab tady dělá práci, na kterou byl vlastní rozklad vymyšlen: najde směry, ve kterých jsou veličiny nezávislé.
Praktický dopad: natočená elipsa znamená, že chyby spolu souvisejí, a měřit je zvlášť je pak zavádějící. „x je 10 ± 2 a y je 5 ± 1“ popisuje obdélník, ale skutečná nejistota je šikmá elipsa uvnitř. Kombinace „x velké a y malé“ může být fakticky vyloučená, i když obě hodnoty samy o sobě v mezích jsou.
Nález: 1σ elipsa nepokrývá 68 %
Tohle je chyba, která se objevuje v článcích i v profesionálním softwaru. Pokrytí elipsy ve dvou rozměrech je jiné než pokrytí intervalu v jednom:
| k | interval ±kσ (1D) | elipsa kσ (2D) |
|---|---|---|
| 1 | 68,3 % | 39,3 % |
| 2 | 95,4 % | 86,5 % |
| 3 | 99,7 % | 98,9 % |
Naměřeno v repu spočítáním sta tisíc bodů: 39,26 %, 86,52 %, 98,89 % — proti vzorci 1 − e^(−k²/2), který dává 39,35 %, 86,47 %, 98,89 %. Důvod je prostý: v jednom rozměru stačí, aby se trefila jedna souřadnice, ve dvou musí obě naráz.
Kdo nakreslí 1σ elipsu a napíše k ní „68 %“, tvrdí skoro dvakrát víc, než má. Pro 95 % v rovině je potřeba 2,45σ.
Kde se to používá
| FilterLab | Kalmanův filtr je kovarianční matice, která se propaguje časem. Elipsa se natáčí a smršťuje s každým měřením. |
| VisionLab | Nejistota polohy bodu z kamery je protáhlá elipsa po paprsku — hloubka je vždycky nejistější než příčná poloha. |
| KineLab | Nejistota polohy koncového bodu je Jakobián aplikovaný na kovarianci kloubů: C_x = J·C_q·Jᵀ. |