Centrální limitní věta — a její podmínka
Proč se gaussovka objevuje všude? Ne proto, že by příroda měla ráda exponenciály. Proto, že součet mnoha nezávislých vlivů má gaussovské rozdělení, ať mají ty vlivy jakékoli. A skoro každá měřená veličina je součtem mnoha vlivů.
- X ~ rovnoměrné(−1, 1)
Plochý obdélník. Žádný vrchol, žádné chvosty, na Gaussovku se nepodobá vůbec.
- (X₁ + X₂)/2
Už to není obdélník, ale trojúhelník. Krajní hodnoty vyžadují, aby oba vzorky byly krajní naráz — a to je vzácnější.
- σ = 0,2582 = σ₁/√5
Vrchol, chvosty, symetrie. Naměřená vzdálenost od Gaussovky klesla z 0,0588 na 0,0069 — osmkrát, a to se průměruje jen pět plochých čísel.
- σ_průměru = σ/√m = 0,2582
A tohle je ta drahá část: stokrát víc měření zpřesní jen desetkrát. Odtud plyne, proč se dlouhé měření vyplatí jen do určité míry.
- Cauchyho: průměr z 100 je stejně divoký jako jeden vzorek
Věta má podmínku, kterou skoro nikdo neříká: rozdělení musí mít konečný rozptyl. Cauchyho ho nemá, a naměřeno: mezikvartilové rozpětí 2,04 při jednom vzorku, 2,07 při stovce. Průměrování nepomohlo vůbec.
Dvě věci naráz
| co se stane | naměřeno |
|---|---|
| tvar se blíží gaussovce | vzdálenost od normálního rozdělení klesla z 0,0588 (m = 1) na 0,0069 (m = 5) — a to se průměrují ploché vzorky |
| šířka klesá jako 1/√m | 0,5787 → 0,0580 mezi m = 1 a m = 100, předpověď 0,5774 → 0,0577 |
Ta rychlost konvergence tvaru překvapí: pět plochých čísel už stačí, aby byl rozdíl od gaussovky pouhým okem neviditelný. Proto se normální rozdělení objevuje i tam, kde je zdrojů málo.
Pozor, co to znamená pro měření. Zprůměrovat sto měření místo jednoho zpřesní výsledek jen desetkrát, ne stokrát. Zpřesnit stokrát vyžaduje deset tisíc měření. Odtud plyne praktické pravidlo: opakované měření se vyplatí do bodu, kdy náhodná složka klesne pod systematickou — a dál už ne vůbec, protože průměrování se systematickou chybou nedělá nic.
Podmínka, kterou skoro nikdo neřekne
Věta platí jen pro rozdělení s KONEČNÝM rozptylem. Cauchyho rozdělení ho nemá — a naměřeno v repu: mezikvartilové rozpětí průměrů je 2,042 při jednom vzorku a 2,073 při stovce. Nezúžilo se vůbec, přestože by u slušného rozdělení kleslo desetkrát. Průměr z milionu Cauchyho vzorků je stejně nespolehlivý jako jediný.
Kde se s tím člověk potká: poměry dvou veličin (zejména když jmenovatel může být blízko nule), měření s občasnými hrubými odlehlými hodnotami, a data, kde se občas změní podmínky. V takových případech je medián nebo ořezaný průměr lepší nástroj než průměr — ne proto, že by byl elegantnější, ale protože průměr tam nefunguje.