Odhad z dat: proč n−1 a co je směrodatná chyba
Skutečná μ a σ se nikdy neznají — odhadují se z konečného vzorku. A odhad je sám náhodná veličina, což je celý obsah téhle kapitoly.
Proč n − 1
Odchylky se počítají od x̄, ne od skutečné μ — a x̄ je do dat samo napasované. Průměr leží k datům blíž než pravá střední hodnota, takže součet čtverců vyjde systematicky menší. Dělení n by rozptyl trvale podhodnocovalo; dělení n − 1 to přesně vyrovná.
Testy v repu to měří, ne tvrdí. Čtyřicet tisíc vzorků po pěti hodnotách z rozdělení, jehož skutečný rozptyl je 1:
| dělitel | průměrný výsledek | měl by být |
|---|---|---|
| n | 0,794 | 0,800 — tedy o 20 % nízko |
| n − 1 | 0,992 | 1,000 ✓ |
Ta podhodnocenost je (n−1)/n, takže při n = 5 je to 20 %, při n = 100 už jen 1 % a při n = 1000 nezáleží. Odtud pravidlo: u malých vzorků na tom velmi záleží, u velkých vůbec ne — a přesto se n − 1 používá vždycky, protože to nic nestojí.
Dvě různé „směrodatné odchylky“
Tohle je nejčastější záměna v celém oboru a je dobré ji mít vyřešenou:
| vzorec | odpovídá na | |
|---|---|---|
| s — výběrová sm. odchylka | √s² | „jak jsou data rozházená?“ |
| s/√n — směrodatná chyba | s/√n | „jak přesně znám průměr?“ |
Když se změří sto kusů a rozptyl rozměru je 0,1 mm, pak jednotlivý kus se od jmenovité hodnoty liší typicky o 0,1 mm — ale průměr té stovky je znám na 0,01 mm. Do výkresu patří první číslo, do kalibračního listu druhé. Zaměnit je znamená být o √n vedle.
Praktický dopad
| otázka | použij |
|---|---|
| Projde tenhle kus tolerancí? | s (rozptyl kusů) |
| Je stroj seřízený správně? | s/√n (přesnost průměru) |
| Kolik dílů bude zmetek? | s a pokrytí z kapitoly 3 |
| Změnilo se něco mezi dávkami? | s/√n obou dávek |