Spektrum a vzorkování

Tohle je statická kopie kapitoly pro vyhledávače. Interaktivní verze má animované obrázky, kontrolní otázky a tlačítka, která příklad načtou do kalkulačky.

Filtr rozděluje signál podle frekvence: tomuhle věřím, tomuhle ne. Aby to dávalo smysl, musí člověk vědět, kde v té ose leží užitečný signál a kde šum. To říká spektrum.

Výkonová spektrální hustota

Rozptyl signálu se dá rozepsat podle frekvencí: kolik z něj sedí kolem 1 Hz, kolik kolem 100 Hz. Tomu rozpisu se říká výkonová spektrální hustota a její plocha je právě rozptyl.

σ² = ∫₀^f_s/2 S(f) dfplocha pod spektrem je rozptyl

Odtud pochází jednotka, která u senzorů mate: hustota šumu v jednotkách na odmocninu z hertzu. Šum 200 µg/√Hz znamená, že v pásmu 100 Hz bude efektivní hodnota 200·√100 = 2 mg. Šum tedy roste s odmocninou ze šířky pásma — a zúžit pásmo je jediný způsob, jak ho zmenšit, aniž by se měnil senzor.

Bílý šum má spektrum ploché: stejně výkonu na každém hertzu. Růžový (1/f, blikavý) má víc energie dole a je to on, kdo dělá drift. Náhodná chůze klesá ještě strměji a je to integrál bílého šumu. Ta jména nejsou ozdoba: každý z nich se chová při průměrování jinak a třetí kapitola je umí od sebe odlišit.

Vzorkování: to, co se stane před vším ostatním

Než se signál dostane k jakémukoli filtru, projde převodníkem. A ten dělá věc, která se už nedá vzít zpět: cokoli nad polovinou vzorkovací frekvence se složí dolů do pásma a je k nerozeznání od signálu, který tam patří.

Nyquistova mez je 50 Hz. Signál 130 Hz se do vzorků složí jako 30 Hz.
Vyzkoušej 130 Hz a 70 Hz při fs = 100 Hz. Obojí skončí na 30 Hz — jedno stejné, druhé obrácené. V magnitudovém spektru je nerozeznáš a žádný filtr ZA převodníkem to nespraví. Proto je antialiasingový filtr analogový a stojí PŘED ním.

Táhni frekvencí signálu nahoru přes Nyquistovu mez. Žluté body jsou vzorky — jediné, co se z celého toho průběhu do počítače dostane. Červený průběh je to, co z nich kdokoli přečte.

f_alias = |f − k·f_s| , k tak, aby výsledek padl do ⟨0, f_s/2⟩kam se která frekvence složí

Dvě věci na tom stojí za pozornost. Za prvé: 130 Hz vzorkovaných na 100 Hz je +30 Hz (odečte se celé f_s), kdežto 70 Hz je −30 Hz — tedy 30 Hz s obrácenou fází. V magnitudovém spektru padnou do stejného řádku a rozeznat se nedají.

Za druhé, a to je celý důvod, proč tahle kapitola stojí tak vpředu: žádný filtr za převodníkem to nespraví. Ta informace už není v datech. Antialiasingový filtr proto musí být analogový a musí stát před převodníkem — což je rozhodnutí o zapojení, ne o softwaru.

Nejčastější past v praxi. Rušení z měniče na 20 kHz vzorkované na 1 kHz se složí přesně na 0 Hz nebo blízko a vypadá jako pomalý drift, který nikdo neumí vysvětlit. Hledá se v kalibraci a v teplotě, přitom stačilo zapojit RC článek před převodník.

Kde tohle končí a kde začíná ControlLab

Vzorkování má i druhou tvář: každý vzorkovací perioda přidá do smyčky dopravní zpoždění a s ním fázovou ztrátu. Tím se zabývá ControlLab. Tady jde o to, co vzorkování udělá se signálem, tam o to, co udělá se stabilitou. Jsou to dvě různé věci a obě umí stroj shodit.