Medián: když data lžou nahodile
Všechno předchozí předpokládalo, že šum je malý a přibližně gaussovský. Reálný senzor občas udělá něco úplně jiného: ultrazvuk se odrazí od zdi místo od předmětu, sběrnice ztratí bit, enkodér přeskočí. Vzorek pak není trochu vedle — je úplně mimo.
Proč tady lineární filtr selže
Průměr přes N vzorků posune jeden výpadek o amplitudě A o A/N. Není to katastrofa, ale je to rozmazání: chyba se rozprostře přes celé okno, takže místo jednoho špatného vzorku jich je N mírně špatných. Medián je posune o nulu, dokud jsou výpadky v menšině.
Stáhni výpadky na nulu. Medián PROHRAJE — na čistě gaussovském šumu je asi o čtvrtinu horší než průměr, protože zahazuje informaci, kterou by šlo použít. Robustní filtr není zadarmo lepší; je lepší jen proti tomu, proti čemu je stavěný.
Cena robustnosti
Na čistě gaussovském šumu je medián asi o čtvrtinu horší než průměr (přesněji o faktor √(π/2) ≈ 1,25 pro velká okna). Zahazuje totiž informaci, kterou by šlo použít: pořadí ho zajímá, velikost ne. Robustní filtr tedy není zadarmo lepší — je lepší jen proti tomu, proti čemu je stavěný.
Co se v praxi dělá. Kombinace: medián krátkého okna (3 až 5 vzorků) jako ochrana proti výpadkům, a za ním lineární filtr na zbytkový šum. Medián zabere jednotlivé skoky, lineární filtr udělá to, v čem je dobrý. Samotný dlouhý medián se používá zřídka — je drahý na výpočet a hrany zaobluje po svém.
Kde je hranice
Medián přežije, dokud je výpadků méně než polovina okna. Nad tím se zlomí naráz, ne pozvolna — a to je jeho slabina: nedá se poznat na výstupu, že se to stalo. Když je výpadků moc, je správná odpověď nedávat žádné číslo, ne dávat vyhlazené špatné.
Ve stavovém odhadu (kapitoly 10 až 12) se výpadky neřeší mediánem, ale bránou na inovaci: když se měření liší od předpovědi o víc než tři směrodatné odchylky, které si filtr sám spočítal, tak se prostě zahodí. Filtr má na rozdíl od mediánu vlastní odhad toho, co je ještě věrohodné — a to je lepší kritérium než pořadí.